Annotations in Commercium Epistolicum

236 Annotationes in Commercium Epistolicum

Introducti.Introductio ad Lectorem pag. 2 l. 7 9 post [fluentium momenta] adde [ad momentum quantitatis uniformiter fluentis applicata.]

Pag 12. l. 22. NB. Pro symbolo $\frac{a a}{64 x}$ D. Leibnitius utitur symbolo $\int \frac{a a}{64 x}$ .

Pag. 15. l. 14. Vt punctum pro linea infin linea infinite brevis parva hic punctum vocatur sic superficies latitudinis infinite parvæ hic linea vocatur dicitur & solidum altitudinis infinite parvæ hic pro superficies dicitur habetur, ideoque ex mente Cavallerij. Pag. 15. l. 14. Newtonus hic loquitur cum Cavallerio & alijs quoi methodis indivisibilium utuntur. Momentum solidi esti solidum infinita parvum id est superficies physica seu crassitudinis infinite parvæ, ideoque et eo sensu superficies hic dicitur. Et Momentum superficiei est superficies infinite parva seu linea lititudinis infinita parvæ et eo sensu linea hic dicitur. Et momentum lineæ est linea infinite parva ideoque et eo sensu punctum hic dicitur. Pro crassitudine momenti solidi vel latitudine momenti superficialis Newtonus vel longitudine momenti linearis Newtonus ponit symblolum o et per hoc symbolum intelligit momentum lineæ uniformiter fluentis per quodam tempus exponitur. Momenta vero aliarum quantitatum per hoc momentum divisa po ponit pro fluxionibus quantitatum. Et contra; si fluxiones quantitatum per hac symbola quæcunque designatur, earum momenta per eadem symbola in momentum o ducta de designabitumturdesignabitur in h ac methodo; ut fit in sequentibus. P. 37. l 20. Quod hic Theorema dicitur cujus ope area circulo vel Sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandāam numerorum rationalium continue productam in infinitum; in Epistola proxima sequente dicitur Methodus qua arcus quilibet cujus sinus datur Geometrice exhiberi potest per ejusmodi seriem; etiam nullo nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu, Vt adeo necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Si ratio arcus ad circumferentiam innotescit habetur circumferentia tota in serie numerorum rationalium ut hic sin minus, habetur arc saltem arcus. [Nam eq eadem methodo qua circumferentia tota innotescit dicit arcum quemlibet ex sinu suo innotescerem.] Est igitur Theorema de quo hic agitur Theo Newtonianum illud quo Arcus quilibet ex sinu suo datur, & cujus Demonstrationem D. Leibnitius postea ab Oldenburgo quæsivit. P. 45. l. 12. Series de qua aliquaties scripsit dabat arcum ex sinu cognito. Demonstrationem ejus quæsivit ab Oldenburgo per Epistolam sequentem. P. 61. l. 16. Probandum est. SHanc seriem anno supendre ab Oldenburgo acceperat. P. 63. lin. 123. Seriem pro a Newtono communicatam quæâ Logarithmus prodit ex numero dato, se antea invenisse jam modo prætendebat: jam postulat a Newtono ut methodum Regressuum exponat qua series illa inveniri potest. P. 63 l 22. Intelligit collectionem Epistolarum Gregorij quam Collinius per Oldenb. jam modo communicaverat. P. 87. l . 17. Methodum tangentium Slusij, D. Leibnitius lectis Newtoni literis 10 Decem 1672 datis et una cum Epistolis Gregorij a Collinio et Oldenburgo ad aipsum missis, jam animo versat et quomodo generalemis reddereatur et ad omnsa generais problematam genera extendatur jam cogitat, sed in methodum Differentialem nondum incidit. P. 88. l. 15. Slusij methodum tangentium Slusij generalem reddere jam modo didicit et hac ne a Literis Newtoni hoc didicisse videretur237 videretur, addit subjungit se jam a multo ho tempore hoc didicisse Barrovius rem tangentium tractavit anno 1670 tractavit per differentias Slusius anno 1673 rem tangentium tractavieratttractaverat per differentias Ordinatarūum Barrovius idem fecerat generalius anno 1670, Newtonus methodum per differentias fluentium anno 1669 communicaverat ad omnia propblematūum genera extend applicaverat sese extendentem idque sine reductione æquationum quantitates fractas & radicales involventium. Leibnitius anno 1677 a Newtono per literas Methodum tangentium Barrovianam amplectitur & a Literis Newtoni admonitus mutatis symbolis a et e in symbola dxy et dyx, & a Literis Newtonioo admonitus generalem redd applicat ad ampliorem reddit applicandos tendedndo quomodo tangentes ducantur s absque reductione frac æquationum quantitates fractas & radicales involventium duciere possint didicit, & p methodum eandem ad omnia problematum genera applicuit, & jam primum cum amicis lectis scilicet quæ Newtonus de hac Methodo in duabus tribus Epistolis scripserat, Lectis fortean & alijs Newtonianis sub finem Anni 1676 ubi domum per Londinum redibet. p. 88. l. Ex verbis [Hinc nominando in posterum dy differentiam duarum proximarum y &c] pat colligitur D. Leibnitium hoc methodum differentialem ipso tempore methodum differentialem cum amicis scripto communicare cœpisse. Pergit subinde methodum tangentium Barrovij, symbolis mutatis describere, & ostendere quomdodo methodus Slusij quod Regula Slusij statim occurrit hanc methodum intelligenti, et quomodo pergendum sit vbi plures sunt literæ indetermitnatæ ut & ubi interveniunt il irrationales. p. 86 94. l. 17. Proposuerat Newtonus æquatione ubi indices potestatum fsunt fractiones, ut in hæac æquatione

20 + x^{\frac{3}{7}} - x^{\frac{6}{5}} y^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{7}{11}} = 0

vel aut surdæ quantitates ut in hac

{x^{\sqrt{2}} + x^{\sqrt{7}}}^{\frac{2}{3}} = y

. D. Leibnitius hic vicissim proponit æquationes ubi indices potestatum sunt quantitates fluentes. Et calculum in his æquationibꝰus hasce jam Exponentionalesm jam vocat. Sed usum hujus calculi nondum docuit. p. 97. pl. 21. Post [literis G. G. L. designatus] adde. Descripsit vero methodum tang solam solammodo methodum maximarum & minimarum & methodum eamque tangentium, deinde addidit p. 97. l. 13. Brevi postea . . . . . Aprilis 1668, publicata. Nomina eorum qui circulum quadrarunt quam proxime quadrarunt ut Archimedis Ptolomæi, Vietæ, Metij & Ludolphi a Ceml Coloniensis, D. Leibnitius recenset; ut et nom Cardinalis Cusani, Orontij Finæi Iosephi Scaligeri, Thomæ Gephyrandri, Thomæ Hobbij qui perfectum tetragonismum professuint sunt, sed scopum minime attigerunt: sed et nomen et nomen Gregorijus vero qui seriem hanc invenit et nomina D. Leibnitus prorsus celavit ut & Colliniujs & Oldenburguis a quibus D. Leibnitius hanc seriem hanc bis acceperat, seipsum vero primum et unicum seriei hujus inventorem atis c jactavit minime nominantur nomina celantur. Gregorij vero qui seriem hanc invenit & Collinij et Oldenburgi a quibus D. Leibnitius hanc seriem eaem bis acceperat, nomin a celantur. Non multo post, anno scilicet 1684, in ijsdem Actis Leipsicis, pro mense Octobri, Calculi differentialis Elementa primum edidit D. Leibnitius literis G. G. L. designatus sub hoc titulo. Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus quæ nec fractas nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus per G. G. L. Et sub finem addidit: Et hæc sunt quidem initia sunt tantum Geometriæ cujusdam multo sublimioris ad difficillima et pulcherrima quæquæe, etiam mistæ Matheseos problemata pertingentis, quæ sine calculo nostro differentiali, aut SIMILI non temere quisquam pari facilitate tractabit. Per methodum similem hic intellexit Newtonianam, sed quid ab Anglis didicerat minime aperuit. [237a] In Actis Eruditorum pro mense Iunio anni 1686 pag 297, D. Leibnitius scripsit: Malo autem dx et similia adhibere quam literas pro illis, quia istud dx est modificatio quædam ipsius x, &c Intellexit igitur literas in methodo differentiali pro siymbolis dx, dy & similibus usurpari posse. P: 97. l. 13. Brevi postea . . . . . . . Aprilis 1668 publicata. ✝ In Actis Eruditorum pro mense Octobri anni 1687, pag. 482, dicitu dicitur hanc seriem tum jam tum decennio & almplius abnde inabinde inventam fuisse (id est anno 1675 ante mensem Octobri) ac demonstrationem ejus partim a Clarissimo Inventore partim ab ejus amicis communicatam esse summis quibusdam Parisinorum ac Londinensium Geometris. ‡ Methodum edidit sub hoc titulo. Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus quæ nec fractas nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus per G. G. L. Et sub finem addidit. Et hæc sunt quidem initia sunt tantum Geometriæ multo sublimioris ad dificillima et pulcherrima quæque, etiam mistæ matheseos problemata pertingentis, quæ sine calculo nostro differentiali, aut SIMILI, non temere quisquam pari facilitate tractabit. Per methodūum similem hic intelligexit Newtonianam, sed quid ab Anglis didicerat minime aperuit. In Actis autem Eruditorum pro mense Iunio Anni 1686 pag 297 scripsit: Ma lo autem dx et similia adhibere quam literas pro illis quia istud dx est modificatio quædam ipsius x, &c. Et his verbis allu dsisse videtur ad methodum tangentium Barrovij pro cujus qui liter cujus literas a et e mutavit in symbola dy et dx. Methodus igitur ex mente Leibnitij non consistit in usu symbolorum dx dy, sed eadem est sive literæ sive hæc symbola sive literæ sive symbola alia quæcunque pro differentijs usurpentur. E Cæterum Porro D. Leibnitius in Epistola

\frac{7}{17}

Martij anno 1693 ad Newtonum data, Librum illum per ope Analysin non vulgarem ope Analyseos nova compositum fuisse agnovit his verbis Mirifice ampliaveras Geometriam tuis seriebus, sed edito Principiorum opere ostendisti patere tibi etiam quæ Analysi receptæ non subsunt. Conatus sum ego quoque notis commodis adhibitis quæ differentias et summas exhibent Geometriam illam quam transcendentem appello, Analysi quodammodo subjicere, nec res male processit. Eodem anno prodijt Volumen secundum operum Wallisij Et ubi Propositio, prima Libri de Quadratura Curvarum fuse exp exponitur et describitur et ad fluxiones secundas ac tertias aliasque extenditur. Sed et methodus extrahendo quantitates fluentes ex æquationibus fluxiones primas secundas tertias quartas aliasque involventibus extrahere docet ostenditur. idque & ad æquati & ad fluxiones s Et aAnno proximo D. Leibnitius hæc de methodo Newtoni scripsit.‡‡ Vide Iournal de Scavans 30 Augusti anni 1694. p. 665. Reddenda est justitia D. Newtono (cui Geometria Optica et Astronomia multum debent) quod ipse quoque aliquid huic simile proprio marte obtinuit, quemadmodum nos tandem postea didicimus.✝✝ Iustitiam Non reddidit. Agnovit D. Leibnitius per Epistolam 21 Iunij 1677 ad Oldenburgum datam, Newtono methodum differentiali similem anno 1676 innotuisse, Epistola illa se hoc se tunc agnovisse jam non fatetur, & Epistola illas ante annoum 1699 primum non fuit impressa fuit Verum est quod is alijs utitur characteribus: sed qu ipsa char quemadmodum ipsa Characteristica, ut ita dicam, pars magna est artis inventortisonis, credo quod nostra luculentior sit. Et anno tertio D. M. Hospitalius hæc addidit: Debetur autem etiam Newtono justitia, quam etiam et D. Leibnitius ipse ✝ eidem reddidit: quod utique is etiam aliquid calculo differentiali simile invenit, quemadmodum apparet per librum insignem, Principia Philosophiæ naturalis Principia Mathematica nominatum quem edidit anno 1687 quique pene dixerim totus est de hoc calculo. Sed ☉ Characte ☉ characteristica Leibnitij methodum ejus longe faciliorem et expeditiorem reddit, præterquam quod in difficilioribus hæc methodus mirabilia præstat. 238 ☉‡ Hæc ex mente Leibnitij. Librum Wallisij D. M. Hospitalius nondum viderat.

Anno 1690 Iabcobus Bernoullius & paulo methodum differentialem exercere cœpit Anno 1690 methodus differentialis apud exteros coli p cep exerceri cœpit Iacobo Bernoullio Ab anno 1690 Methodus differentialis apud exteros celebrari exerceri cœpit, fratri Bernoullijs & Marchione Hospitalio eandem celebrantibus. A Et anno 1695 E Apr 10 D. Wallisius in epistola A ad Newtonum hæc scripsit. Optarim Vtinam Epistolas tuas prolixas mensibus Iunnio et Octobri AnnniAnni 1676 in lucem ederes. Hoc mihi significatum est ab amicis tuis in Hollandia a Batavia, nempe amicos tuos ibi optare, ut hoc fieret propterea quod inventa tua (de fluxionibus ibi cum applausu celebrantur sub nomine Calculi differentialis Leibnitiani. Hoc mihi significatum est, cum totum hoc operum meorum volumen præter partem Præfationis impressum esset, sic, quto factum est ut solum illud hujus rei monitum consulis cum tua cum premendo inventa tua donec alij laudem tibi debitam referunt. Conatus sum justitiam hac vis re tibi reddere & penitet me epistolas illas duas non impressisse emississe verbatim. Pag. 3. l. 16. Wallisius indices dignitatum per nummumeros fractūos

\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}

&c interpolavit, Newtonus indices fractos, surdos, indefinitos & negativos primus in computationes Analyticas introduxit. Leibnitius numeros fluentes pro indicibus posuit. Pag 49. l. 22. Resolutionem Binomij in hujusmodi seriem Anno 1669 Newtono innotuisses patet ex Analysi supra impressa pag. 19. l. 19, 20: inventam vero fuisse anno 1665 dicetur in sequentibus. Eandem D. Leibnitius cum amicis communicavit & celato inventoris nomine. p. 14. Ad Notam adde: Hic recta AB ut a ut uniformiter fluens spectatum, ejusque momentum per lineolam infinite parvam quam Newtonus no symbolum quodvis Rectæ AB, BD, Curva AD et areæ ABKH, ABDA ut fluenties hic spectantur. Si rectæ AB uniformiter fluentis momentum dicatur o, momenta arearum ABKH et ABDA erunt areæ infinitæ parvæ BK×o et BD×o; id est juxta methodum Cavallerij lineæ physicæ BK et BD qud non geometric quoad latitudinem indivisibiles. Hæ lineæ si cum superficiebus conferantur sunt infinite parvæ, & non sunt superficierum momenta nisi quatenus sunt superficies infinitæè parvæ, & seu lineæ latitudinis infinitæè parvæ, id est lineæ in latitudinem infinite parvam o ductæ; ideoque siquando lineæ pro momentis arearūum ponantur, subintelligendæ sunt lineæ in sensu Cavallerij, id est lineæ in latitudinem infinite d parvam ductæ. Et eodem sensu mox dicitur quod unitas quæ pro momento ponitur est linea superficies cum de solidis, & linea cum de superficiebus et punctum cum de lineis agitur, id est superficies in alitudinemaltitudinem infinite parvam o ducta, & linea in latitudine infinite parvam o ducta, et punctum in longitudinem infinite parvam o ductum. Nam punctum hocce mox linea infinite parva dicitur, qualesm utique in methodis indivisibilium pro puncto haberie soletnt. Hunc factorem indefinite parvum o, Newtonus quandoque exprimat ponendo rectangula sub fluxionibus et momentum o pro momentis ut fit in calculo sub finem hujus Analyseos, & ubi non exprimet semper quandoque subintelli & ubi non exprimit semper subintelligit. ubi quoties fluxiones pro momentis ponuntur. Fluxiones enim sunt quantitates quantitates finitæ diversi generis a momentis, et pro momentis nunquam ponuntur nisi quando per factorem o (vel expressum vel subintellectum,) vertantur in quantitates infinite parvas ejusdem generis cum fluentibus et earum momentis. Leibnitius autem pro rectangulis sub fluxionibus et momento o, symbolis utitur dz, dy, dx et similibus, pro fluxionibus vera nulla adhibet symbola. Annotationes in Commercium Epistolicum. Introductionis ad Lect. pag. 2. l. 19. post [fluentium momenta] adde [ad momentum quantitatis uniformiter fluentis applicata. Libri pag. 3, l. 16. ✝ Wallisius indices dignitatum per numeros fractos

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}, \frac{5}{2}

&c interpolavit: Newtonus indices fractos, surdos, indefinitos, & negativos primus in computationes Analyticas introduxit: Leibnitius numeros fluentes pro indicibus posuit, nullo cum fructu. Pag. 12. l. 22. ✝ Pro symbolo

\frac{a a}{64 x}

D. Leibnitius utitur symbolo

\int \frac{a a}{64 x}

. Pag. 14. Ad notam ibi positam adde. Rectæ AB, BD, Curva AD et areæ ABKH & ABDA ut fluentes hic spectantur. Si rectæ AB uniformiter fluentis momentum dicatur o, momenta arearum ABKH et ABDA erunt areæ infinite parvæ BK×o & BD×o, id est, juxta methodum Cavallerij lineæ physicæ BK et BD, non expertes latitudines, sed quoad latitudinem indivisibiles. Hæ utique lineæ non sunt superficierum momenta nisi quatenus sunt superficies infinite parvæ, id est, lineæ in latitudinem latitudinem infinite parvam ductæ o ductæ. Ideoque siquando lineæ pro momentis arearum ponantur, subintelligendæ sunt lineæ in sensu Cavallerij, id est lineæ in latitudinem infinite parvam ductæ. Et eodem sensu mox dicitur quod unitas quæ pro momento ponitur est superficies cum de solidis, et linea cum de superficiebus & punctum cum de lineis agitur; id est, superficies in altitudinem infinite parvam o ducta, et linea in latitudinem infinite parvam o ducta, et punctum in longitudinem infinite parvam o ductum Nam statim subjungitur: Nec vereor loqui de punctis unitate in punctis, sive lineis infinite parvis, siquidem proportiones ibi jam contemplantur Geometræ, dum utuntur methodis Indivisibilium. Sunto fluentes z, y, x, v et earum momenta so, ro, qo, po. Fluat z uniformiter et ad ejus momentum so applicentur omnium momenta, & latera

\frac{s}{s}, \frac{r}{s}, \frac{q}{s}, \frac{p}{s}

erunt earum fluxiones respective. Latus autem

\frac{s}{s}

est 1; & inde Newtonus pro fluxione quantitatis uniformiter fluentis ponit unitatem. In hac methodo factor o, ubi Propositiones demonstrandæ sunt, semper exprimitur & supponitur indefinite parvus estse donec calculus per Geometriam Veterum ad finem perducatur, deinde & subinde diminui in infinitum et evanescere. Sed ubi Propositiones d investigandæ sunt, factor o infinite parvus esse supponitur ab initio, & computationes compendij gratia procedunt per approximationes & fluxiones solæ subintellecto factore o pro momentis scribuntur. Vt si fluxiones l, r, q, p pro momentis scribantur, subintelligendum est quod pro momentis o, po, qo, ro scribuntur, symbolo factore o, compendij gratia neglecto. Hæc erat methodous Newtonus usus est Anno 1669 eut ex ijs quæ in hac Analysi pateb sequuntur manifestum erit. Eadem usus est in Tractatu de quadratura Curvarum. Eadem ut omnium optimam usque na hodie exercet. P. 37. l. 20 ✝ Quod hic Theorema dicitur cujus ope area circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum; in Epistola proxime sequente dicitur methodus qua arcus quilibet cujus sinus datur geometrice exhiberi potest per ejusmodi seriem etiam nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu, ut adeo necesse240 necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Habebatur igitur circumferentia tota in sereserie numerorum rationalium ex ejus ratione ad arcum aliquem cujus sinus dabatur. p. 42. Ex Actis Eruditorum annio 169185 pro Mense Aprilis O Octobri pag 482 habentur Editorum verba sequentia. Author noster adhibendam sibi putavit admirabilem illam proportionēem Leibnitianam inter Circulum et quadratum circumscriptum, scilicet ut

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{7} - \frac{1}{9}

&c ad 1, quæ jam decennio & amplius abhinc inventa — Demonstratio autem insignis adeo Theorematis partim a clarissimo Inventore partim ab ejus amicis communica est dudum summis quibusdam Parisinorum ac Londinensium Geometris, ac magno cum applausu suscepta. P. 63. l. 22. ✝ Intelligit collectionem epistolarum Leibnitij Gregorij a Collinio factam quam ab Oldenburgo jam modo acceperat. P. 87. l. 17 ✝ Methodum Tangentium Slusij. D. Leibnitius, lutisa Newtoni epistola ad Collinium 10 Decem. 1672 data, jam animo versat, & ad omnis generis problemata extendere conatur; sed in methodum differentialem nondum incidit. P. 88, l. 15. Methodum tangentium Slusij generalem reddere, D. Leibnitius jam modo didicit, & ne a Literis Newtoni hoc didicisse videretur subjungit se jam a multo tempore h didicisse. 241 Hunc factorem o Newtonus, ubi Propositiones demonstrat, semper exprimit, eundemque & pro supponit indefinite parvum esse supponit donec calculus ad finem perducatur firatur, deinde diminui in infinitum et evanescere: A sed ubi Propositiones demonstro investigat, factor o infinite parvus esse supponitur ab initio. Priore casu computationes accuratæ sin & subintelligitur, scripto solum fluxionis symbolo. o sunt, posteriore per appoximationesapproximationes, compendij gratia, proceduntere solent per approximationes Fluentium vo, xo, yo, zo v x y z z, y, x, v, sunto momenta po, qo, ro, so, ro, qo, po, et Fluat z uniformiter, et per ad momentum ejus po so d applicentur omnium p momentoa et latera

\frac{s}{s}, \frac{r}{s}, \frac{q}{s}, \frac{p}{s}

erunt earundem fluxiones respective Latus autēem

\frac{s}{s}

est 1; et inde Newtonus pro fluxione quantitatis uniformiter fluentis unitatem ponit. Factorem o Newtonus semper exprimit & – – – – solent per approximationes, et fluxiones neglecto factore o pro momentis poni. Et in hoc casu ubi Siquando igitur fluxiones 1, r, q, p aut similis, pro momentis ponuntur, hæ pro momentis

1 \times o

r o

q o

p o

scribuntur, subintellecto factore o. Nam fluxiones non sunt partes fluxentium infinita sed sunt velocitates quibus describunt fluunt, non sunt quantitates infinite parvæ sed sunt finitæ; et pro ideoque pro infinite parvis fluentium partibus haberi non possunt nisi quatenus per in momentum o ductæ sunt ut in tales partes convert autem subintelligantur. FluxionsFluxiones autem Newtonus per symbola quæcunque designat Pro fluxionibus autem Newtonus ponit symbola quæcunque, Leibni Fluxiones autem duci subintelligantur. Newtonus autem Fluxiones per symbola quæcunque designat: Leibnitius hujus generis symbola non habet. p. 25. Exemplar hujus Epistolæ anno 16756 mense Aprili Iunio a Collinio et Gregor Oldenburgo ad Leibnitium missa fuit. Leibnitius vero seriem primam Anno 1682 in Actis Lipsicus Anno 1682 ut suam imprimi curavit celata hac Epistola. p 28. Mercator Logarithmotechniam MS cum Societatem regia Anno 1667 mense augusto communicavit. Deinde addidit Quadraturam Hyperbolæ et librum edidit anno 1668 mense Iulio. Postea Gregorij demonstratio Geometrica Quadraturæ hujus eodem anno. Et post aliquot menses, scilicet mense I Maio vel Iunio anni sequentis missi sunt hi libri ad D. Barrovium Cantabrigiæ. Is mox eosdum cum Newtono communicavit qui statim Analysin suam mutuo dedit & postulant Barrovio concessit ut cum Collinio communicaretur. Ex hisce autem et alijs quæ olim a Newtono cum Barrovio communicata fuerant, patuit illam methodum a Newtono aliquot annis antea excogitatam & modo universali applicatam fuisse. p. 48. Edita fuit Mercatoris Logarithmotechnia mense Augusto vel Septembri Iulio anni 1668, et eodem anno ad finem vergente prodierunt Exercitationes Geometricæ Gregorij, & paucos post menses quam editi sunt hi libri, nempe mense Iunio anni sequentis missi sunt hi libri C ad D. Barrovium Cantabrigiæ Cantabrigiæ, e qui Analysin Newtoni extemplo remisit ex qua et alijs quæ olim ab auctore cum Barrovio communicata fuerant patetuit altam methodum a Newtono aliquot annis [duobus ad minimum] antea excogitatam et modo universali applicatam fuisse, ut supra pag. 28. 243 p. 38 * Collinius jam ante quadrennium series Newtonianas ante triennium Gregorianas cum amicis libere communicare cœpit. Leibnitius in Anglia diversabatur anno superiore & hujusmodi series nondum communicaverat, nec prius cum amicis communicare cœpit quam ab Anglia discesserat. Hinc in Galliam profectus ptescribebat se ejusmodi, seriem unam atque alteram habere, & anno proximo mense Maio, cum series aliquas ab Oldenburgo accepisset, suas primum ab acceptis diversas esse rtespondendebat Tandem vero quas nullas acceperat unam acceptararum Subinde cum series aliquas ab Oldenburgo acceperat distinxit eas primum a suis diversas esse fatebatur tandem vero unam Receptarum remisit Oldenburgo ut suam & Anglis ignotam. Nullas autem communicavit nisi quas ab Oldenburgo acceperat. ** Methodum exhibendi arcum cujus sinus datur D. Leibnitius ab Oldenburgo postea quæsivit Maij 12 1676, ideoque nondum habuit. Sola methodus transmutatoria quam postea communicavit; non dat arcum ex sinu in sereiseriei numerorum rationalium, ideoque non est methodus de qua hic agitur. [Series defas forsan habere potuit sed methodum communm qua invente sunt nondum habuit.] p. 41. * Hanc seriem D. Collins initio anni 1671 a Gregorio acceperat ut supra, D. Leibnitius opusculum de eaden cum amicis in Gallia hoc anno communicare cœpit, cœelata hac epistola. p. 42 * His verbis Leibnitius series quas ante ante annos aliquot se invenisse professus est, a communicatis diversas fuisse testatur: et unam tamen acceptarum quasi a se inventam & Anglis ignotam, anno proximo Londinum remisit at a se inve Miror quænam fuerint ipsius series quas cum seriebus ab Oldenburgo missis jam comparare non potuit, et quare lucem nunquam viderunt. ✝ Hoc nunquam fecit D Leibnitius sed ubi series duas primas per Mohrūum quendam denuo accepisset, postulavit methodum D. Newtoni perveniendi ad istas series duas series easdem laudabat ut valde ingeniosas, et eo prætextu postulabat earum demonstrationem ad se mitti, quasi series nullas prius ab Oldenburgo prius accepisset. Et hoc pacto Epistolam Oldenburgoi oblivioni tradid itenda, licentiam obtinuit tradidit & Serierum ab eo acceptarum ultimam sibi vindicandisvit [quasi a nemine acceptam quia longe diversam ab ijs duabus quas ab Oldenburgo acceperat per Georgium Mohr Mohrum acceperat. Certe series hæc Leibnitio ipso teste non est Leibnitiana quia non diversa ab ijs quas ab Oldenburgo acceperat.] ‡ [via quadam sic satis singulari] Leibnitius in Epistola 26 Octob. 1674, dicebat duas ejus series suas una et una et eadem methodo inventas esse & hanc methodum jam vocat viam quandam s satis singularem. Sed series ab Oldenburgianis diversas, & viam singularem qua ejusmodi series prodirent nunquam communicavit,. Viam quam arcus ex sinu in serie numerorum rationalium sine methodis Newtoni prodiret nunquam communicavit, quamvis hac via se in series suas incidisse primum prætendebat anno 1674 sub initio anno superiore prætendebat, & sed anno proximo hanc viam sibi communicari postulabat Docuit tantum serises ex tangenibustangentibus sectionum conicarum eruere per transmutationem in alias figuras eruere m Methodum, inquam, qua series rationales tam ex sinubus quam ex tangentibus sectionum Conicarum prodirent nunquam communicavit. Ad p. 70. Geometræ priores invenerunt hoc Theorema, Quod summa terminorum progressionis Geometricæ in infinitum pergentis est ad terminorum primum & maximum ut hic terminus ad differentiam duorum primorum terminorum primorum. Demonstratur Theorema Arithmetice multiplicando extrema et media. Demonstravit Wallisius AritheticeArithmetice dividendo rectangulum sub medijs per extremum ultimum. Vide Wallisij Opus Arithmeticum anno 1675 editum, anno 1695 denuo impressum cap. 33. sect 68. Per Divisieonem Wallisij Mercator demonstravit Quadraturam Hyperbolæ a D. Brounker prius inventam. Et Gregorius idem mox demonstravit Geometrice. Sed horum nemo methodum generalem quadrandi Curvas per divisionem invenit. Wallis præter Gregorium. Mercator hoc se invenisse nunquam professus est. Gregorius hujusmodi methodum licet Vir acutissimus & literis Collinij admonitus vix tandem invenit. invenit. Newtonus invenit per interpolationem serierum initio hujus Epistolæ expositam, et subinde divisionibus et etxtractionibus radicum ut notioribus usus est. 244

\begin{matrix} The fine Gold weighing 533^{oz} . 6^{{dw}^{t}} . 0^{gr} at 4^{li} . 9^{s} 0^{d} per oz comes to} & 2373.3.8 \frac{1}{2} \\ The making of 735 Medals at 3^{s} per Medal comes to & 110.5.0 \\ 2483.8.8 \frac{1}{2} \end{matrix}

p. 12 The Nota Symbolo

\frac{a a}{64 x}

vel etiam hac

▯ \frac{a a}{64 x}

Newtonus aream curvæ hic designat cujus ordinata est

\frac{a a}{64 x}

. Leibnitius utitur hac Nota

\int \frac{a a}{64 x}

, Newtonus alibi ha ▯ hac

▯ \frac{a a}{64 x}

Sic et

▯ \frac{a a}{a + x}

designat Newtonus alibi etiam hac

▯ \frac{a a}{64 x}

. p. 15. Vbique agitur de arcis infinite par de lineais et unitas ponitur pro puncto momento lineæ uniformiter fluentis seu pro linea data infinite parva vel puncto physico, subintelligitur punctum coefficiens nota infinite parva o, sic ut

1 \times o

lineam illam infinite parvam significet. Et siquando species aliquæ ut v, x, y, z ponuntur pro quantitatibus fluentibus, ponuntur & species aliæ ut p, q, r, s pro earum fluxionibus respective; tunc species op, oq, or, os eorum momenta sunt significant: quæ momenta per species etiam p q r s designari possunt subintellecta literæ coefficiente o. Et ubi agiter de superficiebus et unitas ponitur pro momento superficiei uniformiter fluentis seu pro et alijs notis symbolis designantur aliarum superficierum momenta subintelligitur quantitates infinite parva o per quam momenta illa [At proprie loquendo p, q, r, s sunt fluxiones et op, oq, or, os momenta. Et sic in alijs quantitatum fluentium x, x, y, z.] Et sic si pro fluxionibus aliæ quævis ponuntur symbola ut

\dot{v}

\dot{x}

\dot{y}

\dot{z}

, eadem symbola per ducta in symbolum o donatnt fluxion fluentium momenta] Hujusmodi symbolis fluxionum per o multiplicatis Newtonus momenta designat ubi Propositiones demonstrarendæ velit sunt, ut mox fit in hoc Tractatu, demonstrando Regulam primam, & in tractatu de Quadratura Curvilinea Curviilinearum figurarum demonstrando Propositionem primam et Sed ubi Propositiones investigatndæ sunt Analytice negligere solet litere symbolum o et easdem per symbola pro fluxionib fluxionum solarum exponere momenta: et contra promiscue pro fluxionibus et pro momentis pr etiam usurpare, promiscue ponendo eadem symbola pro moment fluxionibus et momentis analogis. p. 19. l 19, 20. Hinc patet resoslutionem binomij cujusmvis in seriem infinitam generalem Newtono jam tum innotuisse. D. Leibnitius ab anno 16701 et deinceps cum D. Oldenburgo commercium philosophicum habuit, et ejus Hypothesin suam Physicam novam Londino eodem anno Londini in lucem emisit eodem anno Londini, & Regiæ Societati dicavit, dein anno 1673 ineunte, mense Martio in Galliam navigave transijt. Vbi unitas ponitur pro momento quantitatis cujusvis uniformiter fluentis, sym unitas illa proprie fluxionem uniformem significat & ut momentum Si subintelligitur coefficiens infinite parva o Si quantitas fluentes per symbola species quæscunque, ut v, x, y et z & earum fluxiones, per species symbola alias quascunque ut [V X Y et Z vel

\dot{y}

\dot{x}

\dot{y}

\dot{z}

vel] p, q, r, s, designantur, Newtonus momenta fluentium desi designantur per s designat r possunt a Newtono in hac methodo per symbola fluxionum multiplicata per ducta in quantitatem infinite parvam o uti per op, oq, or, os,. Et hujusmodi symbolis Newtonus utitur præsertim ubi Propositiones demonstrandæ sunt, ut mox fit in fine h ujus Tractatus demonstrando Regulam primam et in Tractatu de Quadratura Figurarum demonstrando Propositionem primam. Sed in investigatione rerum per Analysin ubi Problemata resolvenda sunt ubi Problemata resolvendate sunt per Analysin, Newtonus omittit symbolum omittere licet coefficientem enodanda o et ijsdem symbolis per symbola fluxionum designat etiam momenta fluentium, Et unitatem ponit tam pro momento quantitatis uniformiter lfuentis quam pro ejus fluxione] sed ubi Problemata tractantur Analytice, omittere licet coefficientem o, & symbolum fluxionis pro mo in symbolis momentorum, & pro momento quantitatis uniformiter fluentis unitatem usurpare ponere.] & symbola sola fluxionum symbola pro momentis ponere, atque unitatem pro momento quantitatis uniformiter fluentis usurpare pro momentis usurpare licet sola fluxionum symbola et pro momento quantitatis uniformiter fluentis unitatem ponere, neglecta coefficiente o per quam utique æquatio sub finem operationis dividi deberet. In methodo priore æquo quantitas o primum ut finita prima spectari potest, & ultimo, ubi æquatio inventa est et reducta et per o divisa, ut nulla. Et Sic prodibunt rationes fluxionoum ubi quantitas o evanescit. Et hæc est methodus qu analytica rationum primarum et ultimarum estque perfecte demonstrativa & geometrica. Methodus altera qu ubi quantitas coefficiens o omittitur est magis expeditior sed minus demonstrati hallucinationibus magis obnoxia. Vnde – – – erunt traslationestranslationes directe ut impressiones & inverse ut superficies hoc est directe ut impressiones et inversæ ut superficierum distantiæ ab axe Sunt autem diferentiæ motuum Translationes autem sunt momenta differentiæ motuum angularium circūum axem, ideoque momenta differentiæ illæ sunt inverse ut superficierum distantiæ ab axe Add 3968245 pag. 61. Hujus Harmoniæ series prima ex secundæ et tertia componitur, secunda duplicata ex hac

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9}

conjunctis binis terminis tertia quadruplicata ex hac

\frac{1}{4}

duplicata

\frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}

conjunctis binis terminis quarta est series Gregorij et quinta series Brounkeri. pag. 86. Ad Notas adde. In Regulam quartam D Leibnitius tandem incidit & in Actis Leipsiensibus ianno 168993 pag 295 179 in lucem edidit, [eandem vocans methodum Tangentium inversam & in qua dicit maximam partem Geometriæ transcendentis contineri]

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2, 3} + \frac{1}{3, 4} + \frac{1}{4, 5} + \frac{1}{5, 6} = 1

. Vnde

\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} &c = 2

2 - 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} &c = 1 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3, 5} + \frac{2}{5, 7} + \frac{2}{7, 9} &c

. Vnde

\frac{1}{3} + \frac{1}{15} \frac{1}{35} + \frac{1}{63} & = \frac{1}{2}

1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{13} & = \frac{3}{4} + \frac{3}{28} + \frac{3}{70} + \frac{3}{130} + \frac{3}{208} = 1

. Vnde

\frac{1}{2} + \frac{1}{14} + \frac{1}{35} + \frac{1}{65} + \frac{1}{104} = \frac{2}{3}

\frac{2}{2} - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} - \frac{2}{8} + \frac{2}{8} - \frac{2}{11} + \frac{2}{11} &c = \frac{6}{10} + \frac{6}{40} + \frac{6}{88} + \frac{6}{154} + &c

\begin{matrix} 1 - \frac{1}{2} + \frac{2}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4} + \frac{2}{5} + \frac{2}{6} & - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7} & - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} Or - 2 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = 0 . \\ 1 - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{30} - \frac{1}{60} - \frac{1}{105} - & = \frac{7}{6} \end{matrix}

Series secunda fit Conjungendo binos terminos hujus seriei com

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} &c = 1

, fit ū colligitur series secunda

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} &c = 2

. Et conjungendo ternos terminos hujus seriei

1 + \frac{1}{2}

+ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} = 1

fit colligitur series tertia

- \frac{2}{2} - \frac{2}{3} - \frac{2}{4} - \frac{2}{5} - \frac{2}{6} - \frac{2}{7} - \frac{2}{8}

+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + 8

1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{35} + \frac{1}{56} &c = 1 \frac{1}{2}

. to the RtRight most HonbleHonourable the Earl of Oxford & Earl Mortimer LdLord High Treasurer of great Britain The humble Petition of Ms Katherine Barton Widdow of Lieut. Col̄l̄Collonel Barton who was lost in yethe late shipwreck in yethe River of Canada most humbly sheweth That yoryour Petitioners Husband Lieutenant Collonel Barton having late Husband Lieutenant Col. Barton being los who had served her Maj in the army from the age of nineteen years & was being lost in the late shipwraeck in the late River of Canada & together with his equipage & provisions for the expedition to Canada Quebeck to yethe value of four hundred pounds & having enjoyed his place having of Lieutenant Collonel having cost him seven but half oane year for wchwhich he paid seven hundred pounds, (most part of the said moneys being out of yoryour petitioners fortune) YorYour Petitioner soon after the said epe shipwackshipwrack & having also lost & leaving yoryour Petitioner wthwith three small children, & an annuity of 100li prper an' in yethe ExcheqrExchequer for his life being also lost to his family: Your Petitioner being left wthwith three small children soon after the said shipwrack app petitioned her MatyMajesty for releif, & your LordpLordship being then moved in this me behalf of your PetitionrPetitioner was pleased to give a favourable answer repre say give a very favourable answer importune that you would take care of your Petitioner in this matter. YorYour Petitioner therefore most humbly prays your LordspLordship for a speedy releif. in consideration of her great losses And yoryour Petitioner shall ever pray &c .

\frac{1}{1} . \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{1}{4}

\begin{matrix} - 2 . - 1 . 0 . 1 . 2 . 3 4 . 5 . 6 . \\ 1 . 0 0 . 13 6 . 10 . 15 . 21 . \\ - 1 . 0 . 0 0 . 1 4 . 10 . 20 . 35 . 56 . \\ 0 . 0 . 1 . 5 . 15 . 35 . 70 . 126 . \\ 0 . 1 6 . 21 . 56 . 126 . 252 . \end{matrix}

\begin{array}{r} 896 \\ 7168 \\ 14336 \end{array}

245 Quantitas o vel finita esse supponitur vel infinite parva & operationes omnes peraguntur per Geometriam vulga Euclidiam ds peragagantur donec ad æquationes pereniantur & æquationes reducantur, dein quantitas o evanesereevanescere fingit & evanescere. Sic methoodus quam maxime Geometrica est summe demonstratio & finitis computationibus evanescit. Priore casu computationes methodus Gem methodus dicitur rationum primarum et ultimarum, posteriore methodus momentorum, utroque methodus fluxionum dicitur. Quantitas o vel finita esse supponitur vel infinite parva, & finitis computationibus evanescit. Prior casus methodum rationum primarum et ultimarum costnstituit, postiorposterior methodum momentorum, uterque methodum Fluxionum. Methodus prior Geometrica est et summe demonstrativa, posterior non etiam espeditior est sed principijs nondum demonstratis unititur unititur & expeditijor redditur est Curvitates per fluxiones secundas & nonnunquam per tertias quartas quintas & superiores determinantur. Newtonus Scilicet easdem sic annis aliquot ante scriptam hanc epistolam sic determinavit. Æquationis cujus termini omnes relationem inter Ordinatam BC=y et abscissam AB x definientis, sint termini omnes æquales nihilo. Et ijdem multiplpicati per indices dignitatum Abscissæ dicantur

\cdot x

, multiplicati per indices dignitatum Ordinatæ dicantur

x \cdot

, pemultiplicati per indices dignitatum utriusque dicantur

\cdot x \cdot

, et quantit multiplicati primo per indices dignitatum Abscissæ deinde per indices dignitatum earundem unitate diminutaos dicantur

: x

, et multiplicat primo per indices dignitatum Ordinatæ deinde per indices dignitatum earundem unitate diminutas dicantur

x :

. et erit Capia In CBOrdinata CB producta capiatur CD versus cavitatem Curvæ producta, capiatur

CD = \frac{\cdot x \cdot x x \cdot y^{2} + x \cdot x \cdot x \cdot x x}{- \cdot x \cdot x x : y + 2 \cdot x x \cdot . x . y - x \cdot x \cdot : x y}

et agatur DE Abscissæ parallela & Curva ac CE ad Curvāam perpendiculari. Et punctum E ubi hæ actæ rectæ concurrunt erit centrum curvaminis ad punctum linæ hujus Curvæ ad punctum C. Rem Tangentium jam tum a multo tempore Gregorius & Barrowus lege generalius tractaverant & Newtoni idque calculo consimili. Sed Newtonus in Epistola anno 1672 scripta et anno superiore ad Leibnitium missa scripserat methodum Slusij esse Corollarium tantum methodi longe generalioris & abstrusioras problematum & ad resolvendum alia abstrusiora Problematum genera se extendera citra molestum illum calculum abstrusiora Problematum genera tractarentur quæque exd & ad quantitates surdas; Et in epistolis anno superiore scriptis et ad ipsum D Leibnitium smissis methodum illam plenius descripserat & symbolis partim verbis expressis partim symbolis plenius descripserat: Leibnitius vero ne aliquid a NewtonNewtono didicisse videretur scribit se methodum postquam scripserat se Newtono assentiri quod Slusij methodus tangentium nondum esset absoluta, & subjungit quod jam a multo tempore rem Tangentium longe generalius tractasset, & mox subinde describit methodum differentialem quasi hanc hanc a multo tempore jam tum didicisset habuisset; Et in Epistola sua 29 Decem. 1711 data et mox impressa ad D. Hans Sloane missa & mox impressa hoc idem confirmat scribendo se inventum plusquam nonum in annum pressisse, id est se invenisse ante mensem Octobrem anni 1675, cum tamen mense Iulio anni 1676 contra universalitatem methodi Newtoni scripserat, cum multa esse usque adeo mira esse et implexa ut neque ab æquationibus pendeant neque ex quadraturis qualia sunt (ex multis alijs) Problemata methodi tangentium inversæ. Methodum igitur per differentias quam Fermatius, Slusius Gregorius, Barrowus, Slusius in maximis & minimis tangentibus & maxi coluerant, Newtonus universalem reddiderat, Leibnitusius novis aat symbolis & novo nomine & novis rerum differentiam symbolis impositis ad se ra ut suam & a se olim inventam & Newtonianæ similem ad Newtonoum mittit, quo effectum est ut suam Newtonus lites aversatus suam tuto edere non posset edere negliteitgeret. 245 bis Newtonus in tractatu de Analysi quaem Barrovius anno 1669 cum Collinio communicavit, Fluentis quantitates generis cujuccunque per areas Curvilinearum, e Fluxiones per oOrdinatas, tempus per abscissam tempus per abscissam momentum tempore per momentum Abscissæ momentum temporis per momentum abscissæ momenta aliarum fluentium per Ordinatas ductas in momentum Abscissæ & tempus per Abscissam exposuit. Fluxiones vero & mo per symbola quæcunque fluxionem temporis per unitatem designavit & & momentum abscissa temporis per literam o, et aream seu fluentium per Ordinatam quadrato inclusam. D. Leibnitius per vero tandem anno 1677, Ordinatas designate cœpit per differentias Ordinatarum arearum et areas per summas Ordinatarum temporis per literam o, aream vero designatvit per Ordinatam quadrato inclusam et oOrdinatam per momentum Areæ applicata ad momentum Ordinatæ Abscissæ designavit. Leibnitius vero tandem anno 1677 Ordinatas designare cœpit per differentias aream & areas per summas Ordinatarum: Pro fluxionibus vero symbola nondum adhibet. Newtonus ideoque

v = y

fluxens, y fluxio ejus et oy momentum juxta Newtonum D. Leibnitius verò post annos octo calculum suum communicare cœpit, Barrovium in methodo tangentium secutus. & pro ipsius ea et e symbola dx et dy præterquam quod pro ipsius sed pro Barrovij symbolis a et e sed pro smbymbolis ejus a et e substituit symbola nova dx et dy, & methodum illam istam illius a Newtono admonitus adauxit, g ac generalem reddidit. Et fluentis yv vel

y

f momentum erit

y o

juxta Newtonūum juxta Leibnitius vero pro

y

scribit

\int y

& pro

y o

post annos octo pro

y

et yo o et yo scribere cœpit f

\int y

& pro

y o

et dv et dx et dv; pro fluxionibus symbola nondum adhibet. Facem igitur Newtono non prætulit. Sitnt x abscissa, fluxio ejus, et o momentum ejus, qua tempus, exponitur, sitque ejus fluxio 1, & momentum o; Deinde sitque et sit y ordinata ordinata et v area Curvæ cujusvis: et fluentis v vel

y

fluxio erit y et momentum yo juxta Newtonum. Analysin illam. Leibnitius vero post annos octo pro

y

, o, et

y o

scribere cœpit

\int y

, dx et dv, [Mutatis Barrovij symbolis a et e in dx et dyv] Pro fluxionibus symbola nondum adhibet. Facem igitur Newtono non prætulit et hac ratione Analysin suam ibi descriptam generalem reddit. Causam gravitatis neque Newtonus neque alius quisquam ex phænomenis hactenus deducere potuit. Esse quoque vim electricam certissimum est sed ejus causa no ex phænomenis nondum patet. 246 At the end of Mr Leibnits LettedLetter dated in April 1676, write Quanquam D. Leibnitius series quas anno superiore a D. Oldenburgo acceperat, se cum suis aliquando collaturum esse promiserat, tame eoque nomine series illas a suis diversas esse prodiderat: tamen collatia illa nunquam facta est. Series illæ Leibnitianæ a communicatis diversæ lucem nondum viderunt, de quibus anno 1673 scribere cœperat lucem nondum viderunt. Epistola Oldenburgi qua series alienas acceperat oblivioni tradita est. Et postquam D. Leibnitiums annum methodum qu perveniendi ad series illas jam jam anno jam elapso frustra quæsiverat hic meth D. Oldenburgium enixe sollicitat ut is methodum Newtonianam suppeditante D. Collinio ad se mitteret. Sed et aliqui e socijs Academiæ scientiarum audito quam jam quod D. Gregorius sua jam emortuus esset, hic un Socijs aliquodt Ac socij aliquot Academiæ scientiarum sollicitante D. Leinitio ab Oldenburgio postularunt ut quæ Gregorius cum amicis communicaverat in unum corpus colligerentur et exemplar ejus Lutetiam Parisiorum mitteretur. Extat enim collectio manu D. Collins exaratum cum hoc Titulo Et collectio illa sic orditur NB. Hanc Epistolam Leibnitius oblivioni tradidit. Hinc patet series Leibnitianas (siquas jam invenerat) a communicatis diversas fuisse. In hac collectione habentur Epistolæ Gregorij scribus refertæ, habetur epistola ejus ad D. Collins data 15 Feb: Anno 167

\frac{0}{1}

, in qua sunt hæ series habebatur hæc series ut supra fuit hæc series. Sit Radius=r Arcus=a, Tangens=t, Secans=s, et erit Et erit

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{2}} + \frac{t^{5}}{5 r^{4}} - \frac{t^{7}}{7 r^{6}} + \frac{t^{9}}{9 r^{8}}

, &c et Leibnitius tamen hanc Eritque

t = a + \frac{a^{3}}{3 r^{2}} + \frac{2 a^{5}}{15 r^{4}} + \frac{17 a^{7}}{315 r^{6}} + \frac{62 a^{9}}{2835 r^{8}}

, &c Et

s = r + \frac{a^{2}}{2 r} + \frac{5 a^{4}}{24 r^{3}} + \frac{61 a^{6}}{720 r^{5}} + \frac{277 a^{8}}{8046 r^{7}}

, &c Sit nunc Tangens artificialis=t & secans artificialis=s & integer Quadrans=q, Et erit

s = \frac{a}{r} + \frac{a^{4}}{12 r^{3}} + \frac{a^{6}}{45 r^{5}} + \frac{17 a^{8}}{2520 r^{7}} + \frac{62 a^{10}}{28350 r^{9}}

, &c Sit

2 a - q = e

; et erit

t = e + \frac{e^{3}}{6 r^{2}} + \frac{e^{5}}{24 r^{4}} + \frac{61 e^{7}}{}

t seriem pro sua anno superiore cum amicis communicare cœpit, hoc anno ad D. Oldenburgum ut remisit & qui Mathematica non erat noverat ut inventum novum remisit, & in Act postea in Actis Leipsiensibus ut suam in lucem dedit neque ullibi agnovtitagnovit se eandem anno superiore ab Oldenburgo accepisse & Gregorium eandem aineunte anno 1671 cum D. I. Collins communicasse. Hanc seriem igitur Gregorius methodo Newtoniana prior invenit. In eadem collectione habetur epistola Newtoni ad D. Collins data et superius impressa, in qua Newtonus se methodum habere generalem habere dicit ducendi tangentes, quandrandi curvilineas & similia peragendi & methodum exponit exemplo ducendi tangentes: quam methodum Leibnitius differentialem postea vocavit. Porro cum D Leibnitius in Epistola quam novissima se inventum aliquod polire dicat cum Oldenburgo communicandum, is intelligit Opusculum de prædicta Gregorij serie quod anno superiore componere cœpit et cum amicis communicare. Id ex verbis ejus ejus colligo, cum in Actis Lipsiensibus mense Aprili Anni 16891 in lucem editis ubi hæc leguntur. Iam anno 1675 compositum habebam opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore lectum, sed quod materia sub manibus crescente limare ad editionem non vacavit postquam aliæ occupationes supervenere [id est postquam ad Electore Hanoveræ in patriam suam revocatus esset & anno 1677 negotijs publicis interesse cœpisset:] præsertim cum nunc prolixius exponere vulgari more quæ Analysis nostra nova paucis exhibet non satis operæ pretium videatur. Interim insignes aliquodt quidam Mathematici, quibus veritas primariæ nostræ Propositionis dudum in Actis publicatæ innotuit pro humanitate sua nostri qualiscunque inventi candide meminere. Opusculum igitur his verbis descriptum poliebat, & polire pergebat donec Literis Electoris Hanoveræ in patriam suam revocatus esset ut negotijs publicis interesset, id quod con Et postquam hæ occupationes supervenere id est anno 1677, materia sub manibus crescente opusculum plurius limare ad editionem non amplius vacavibat. præsertim cum tunc prolixius exponere vulgari more quæ Analysis sua nova paucis exhibet non satis operæ pretium videretur. Opusculum igitur illusillius prius composuit quam methodum differentialem invenit. Opusculum anno 166 1676 vulgari more limabat, et anno sequente postea methodum suam novam (differentialem scilicet) invenit. Id quod NB Collinius jam ante triennium series Newtonianas ante biennium Gregorianas cum amicis communicare cœpit Leibnitius Londino deiscere se quoque in hujusmodi seriem aunam atque alteram incidisse jactare cœpit, sed hujusmodi seriem aliquam non prius cum amicis non prius communicavit quam ab ab Oldenburgo acceperat ut mox patebit. Cum D. Leibnitius methodum Newtonianam pervendi ad series anno superiore sibi missas Newtonianas frustra quæsiverat, eandemque sibi communicare b postulaverat & Gregoriana omnia Lutetiam mitti: Oldenburgus & Collinius NewtorumNewtonum enixe rogarunt ut ipse methodum suam describeret cum Leibnitio communicandam. In Leib Epist. 1. NB Methodum perveniendi ad has series Newton LeibnitiusiusLeibnitius per se invenire non potuit. Eandem postulante Leibnitio Newtonus postulante Leibnitio Epistola superiore communicaverat. Leibnitius jam series quasdam hac methodo inventas sibi arrogat conatur Six et in Actis Lipsientibus Mense Aprili anni 1681 hæc scripbpsit. Cæterum ex seribebus infinitis a me alijsque Mercatore Newtono Gregorio exhibitis, sequitur . . . . . . . .

\frac{l^{5}}{1, 2, 3, 5}

&c. Certe Le In Epist. Newt 2 Patuit supra Newtonum anno 1669 hujusmodi series in potestate habuisse adeoque methodums fluxionum ipsi ante annum illum innotuit. In L. Epist. 1. Hæc methodus tr ejusdem est generis cum transmutione transmutandi figuras curvilineas in alias sibi ipsis æquales ejusdem est generis cum Barrovianis & Gregorianis. Contingit aliquando figuram simpliciorem prodire sed semper Conicæ Sectiones hac methodo semper ad series infinitas reduci possunt per divisiones. Idem fit in Curvis secundi generis punctum duplex habentibus si modo & in curvis tertij generis punctum tribplex habentibus & in ijs quarti generis punctum quadruplex habentibus & sic deincips in infinitum si modo punctum illud inveniatur et pro polo habeatur. In alijs casibus mres non succedit idoque methodus non est generalis. Generaliter obtinet in sectionibus conicis, in alijs Curvis non item. In Epist. 1. Porro Porro Cum hæc methodus Leibnitius hanc methodum viulgari more prolixius exponat quam Analysis sua nova paucis exhibere potuisset, manifestusm est quod Analysis illa nova ipsi nondum intinnotuit. In Epist L. 2. Cœpit igitur Leibnitius hoc ipso tempore methodum differentialem cum amicis communicare, lectis prius Epistolis quas Newtonus de hac methodo scripserat. In Epist 2. Hæc est Analysis differen æquationes infinitas supra impressa. In Epist 2. Hæc est epistola supra impressa de methodo Slusij. 247 Erra Corrigenda. Pag. 2. lin 22 & 23 Lege. per hand

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}

– – – &c, conjungendo singulos – – P. 8. lin 8, 9 lege BD (y) momentum quo [curvilinea] P. 10. l. 3 tia, eorum Momenta Ib. l. 12. fluentes quantitates, P. 14. l. 34 & P. 15. l. 14 data Pag. 11. lin. 7.

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} y

, P. 22. l. 6. anno 1675. P. 31. l 32 id monitum interseruerim. Ib. l. 22. præfatione Ib. l. 23 editi P. 36. l 34 & p. 37. l. 4, 6, 9, 10 pro 35, 36, pro x scribe

\dot{x}

P. 37 l. 11 pro xo scribe

\dot{x} o

. Ib. l. 19 pro arcas scribe areas. P 47. l. 18. Pro aliam scribe etiam. P. 53. l. 32. Pro prædicaverat scribe explicaverat. P. 54. l. 28. lege. 1676, se tum ante annos quinque quo quietius – P. 142. l. 9 pro 1679 scribe 1676. P. 26. l. 7 lege oblitumque jam fuisse. Ib. l. 27. quæ sponte P 46. l. 30. quæque etiam adhuc P 19. l 16 In eadem enim Epistola Pag. 19. l. 16. lege iIn eadem enim utique epistola. P. 22 l. 6. lege anno 1675. P. 26. l. 7 oblitumque jam fuisse. Ib. l. 27 quæ sponte. P. 31 l. 22 præfatione. Ib. l. 23 editi. Ib l. 32 interseruerim P. 36. l. 34, 35, 36 & P. 37, l. 4, 6, 9, 10 pro x scribe

\dot{x}

. P. 37. l. 11 pro

x o

xo scribe

\dot{x} o

. Ib. l. 19 areas. P. 46 l. 30 quæque etiam adhuc. P. 47 l. 18 pro aliam scribe etiam. P. 53. l. 32 pro prædicaverat scribe expliccaverat. P. 54. l. 28 lege 1676, se tum ante annos quinque quo quietius. P. 142. l. 9 pro 16979 scribe 1676 p. 52. lin 4 pro omnino nullus scribe n jus omnino nullum. p. 3. l. p. 5. l. 11. not exceeding one penny over or under p. 9 lin. ult penult. We take p. 10 Kings Clerk. No tale. No uwse of Contollment Roll. 248 Hæc omnia refutantur supra, pag. 7, 8, 9, 10, 12, 24, 25 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 52. Methodus fluxionum non consistit in forma symbolorum. Pro fluxionibus ipsarum x, y, z Newtonus quandoque ponit easdem literas punctis notatas

\dot{x}

\dot{y}

\dot{z}

, quandoque easdem in forma majuscula X, Y, Z, quandoque literasesliteras alias ut p, q, r, quandoque lineas exponentes ut DE, FG, HI: (p. 37) Et hoc Newtonus in hunc usque diem facit uti videre licet in Libro de Quadraturis, ubi fluxiones in Propositione prima denotantur per literas punctatas, in ultima per ordinatas Curvarum, in Introductione per alia symbola dum Methodum explicat illustratque per Exempla. (pag. 37) Omnia Newtoni symbola sunt in suo quæque genere prima (p. 37, 38) Calculo fluxionum utendi Newtonus In Principijs Naturæ Mathematicis Newtonus calculo suo utend fluxionum Analytico utendi nullam non non habuit occasionem frequentem. nam liber ille inventus est quidem per Analysita, at scriptus per synthesin more veterum ut oportuit (p. 39 ) At Analysis per tamen per synthesin illam ita elucet ut Marchio Hospitalius agnoverit hunc librum fere totum ex hac Analysi constare (pag. 30 ) Prima vice h literæ punctatæ comparuerunt, non in tertio Volumine operum Wallisij quod prodijt anno 1699, sed in secundo volumine operum ejus pro quod prodijt anno 1693, annis duobus antequam fama Calculi differentialis ad aures Wallisij pervenit (p 40, 41) & annis tribus antequam Marchio Hospitalius Analysin suam infinite parvorum edidit, qua calculus differentialis ubique locorum invalescere cœpit.. Vera ratio fluxiones fluxionum capiendi hoc est differentianda differentialia habetur in Propositione prima libri de Quadraturis. Hanc (p. 10, 40) Hanc Propositionem Wallisius cum exemplis in differentijs primis et secundis Wallisius edidit in Tomo secundo Operum suorum (pag 10, 40, 41 Eandem Newtonus demonstravit synthetice in Lem. II Lib. II Princip. (p. Eand 30 Eandem Newtonus posuit in Epistola ad Oldenburgum 24 Octob. 1676 data tanquam fundamentum hujus methodi de quas ante tum ante annos quinque scripserat pag 8 ) In eadem Epistola Propositione Epistola Newtonus posuit Methodum suam (in hoi Propositione fundatam) quadrandi figuras curvilineas accurate si fieri potest (pag Quam methodum Newtonus habuit anno 1669 (pag 90. lin. 17) ut et omneis aliquot antea testibus Barrovio & Collinio (pag. 103 lin 26, 27, 28, 33.) id est, Anno 1666 aut antea, ut etiam Wallisius de Methodo fluxionum testatum reliquit (pag. 32 ) Newtonus nunquam munquam mutavit literam o in in literam

\dot{x}

sed eadem usus est in Introductione ad Librum de Quadraturis et adhuc utitur in eodem sensu ac sub intioinitio (p. 8, 9, 36, 37, 38, Veram methodum differentiandi differentialia Newtonus habuit anno 1669 p. 7, 11, 12 Ejusdem solutionem Newtonus docuit Anno 1669 in AnalyAnalysi sua per series, ubi methodum docet regrediendi regressionis ab area solidove contento ad Abscissam, Sp vel Ordinatam (pag. 8, 9 85, 92) Sed et D. Leibnitius olim agnovit hanc Analysin in Libro Principiorum elucescere pag. 34, 52 I Anno 1669 in Analysi sua per series Newtonus utitur symbolis ov, oxy, ox, [ Pro fluxionibus D Leibnitius nulla habet symbola [Pro momentis Newtonus utitur anno 1669 usu in Analysi sua per series usus est symbolis fluxionum ductis in momentum o; vel L Pro ijsdem Leibnitius anno 1677 cœpit uti symbolis dx, dy, dz. Pro fluentibus Newtonus anno 1669 in Analysi sua utsus est symbolis fluxionum rectangulo inscriptis: pro ijsdem Leibnitius] Leibnitius Symbolis momentorum sive differentiarum dx, dy, dz Leibnitius primo uti cœpit anno 1677: Momenta Newtonus denotabat per rectangula sub fluxionibus & momentisa o cum Analysin suam scriberet anno 1669 aut ante, Leibnitius symbolis — in quadrato vel rectangulo ad hunc modum

\frac{a a}{64 x}

Omnia Newtoni249 Newtoni symbola sunt in suo quæque genere prima. (p. 37, 38. Et specimen ejusdem quoad Tangentes ducendas posuit in Epistola ad Oldenburgum ad Collinium 10 Decem. 1672 (p. 105.)Et in eadem Epistola addidit Problemata de Curvarum – – Newtonum accusat quasi Deu qui Deum corpore omni destitutum esse affirmatꝰus, accusat quasi sensorium corporeum & organa Deo ja tribueret. Gravitatem universalem in argumento Inductionis fundatam negat, nulla in contrarium observatione adducta. Sed et Sectiones duas primas Libri secundi PrincipioorumPrincipiorum verbis alijs compo (absque symbolis differentialibus) composuit, & addidit subjunxit: Omnia autem respondent nostræ Analysi Infinitorum, hoc est calculo summarum ac differum. (pag. 41, 42, 43.) Noverat itaque D. Leibnitius demonstranes Propositionum in Libro Principiorum calculo differentiali respondere. Keilius hoc notaverat anno 1711 (p. 238) Et hoc Newtonus in hunc usque diem facit, ut videre licet in Tabulæ pro Quadrandis figuris anno in Scholio ad Prop. X.libri de Quadraturis positæ constructæ erant annis quinque diu ante ante annum 1676, ut ex Ordinatis Curvarum in Epistolam Newtoni 24 Octob 1 ad Oldenburgium 24 Octob. 1676 data data positarumis liquet. (pag. 173;) & absque methodo fluxionum & Momentorum construi ne quibant. Corollarium secundum Propositionis illius decima plenius exponitur in Epistola Newtonei ad Collinium Novem. 8. 1676 missa, his verbis. Nulla extat Curva – – – haud tamen adeo generaliter. Et ex his a Hactenus Newtonus. Et ex his omnibus abunde satis liquet Methodum fluxionum et Momentorum quatenus in libris dece Propositionibus decem primis Libri de Quadraturis exponitur Newtono innotuisse anno 1676, aut antea. Sed et Marchio Hospitalius testis est, pro Newtono vel potius Iudex, qui utique dixit Librum de Principiorum philosophiæ fere totum esse ex hoc calculo con- este s ut supra (p. 30), et Leibnitium in Methodum differentialem invenisse incidisse invenien efficiendo ut methodum tangentium Barrovij proceden non hæreret ad radicales p 26 27, 28. Newtonus enim antea in Epistolis 10 Decem 1672 & 24 Octob. 1676 Leibnitium admonuit se hoc antea assecutum esse. (p. 26, 27, 28, 30. 105, 166.) Quin et Leibnitius contra seipsum testis est est, p olim agnovit Librum Principiorum ope calculi infinitesimalis compositum fuisse. pag Miracula vocat quæ admirationem non cient. Loca ibus Deus omni corpore destitutus adest, vocat ejus cerebrum a cerebrum corporeum Spatium et tempus non ad Predicamentum Quantitatis sed id Prædicamenta Vbi et Quando refert. Ipse monades indivisibiles negat introducit & tametn atomes negat. Corpuscula poris destituta redet, atomos vocat & dari negat. Mundum vult esse absolute perfectum, quia opus Dei: quo nomine pediculi et vermes sunt entia absoluta perfecta. Deum vocat Intelligentiam supramundanam, & spatiam tamen ultra mundum corporum dari negat, 250 Annotatio Hæc omnia refutantur supra, pag. 7, 8, 9, 10, 11. 12, 24, 25, 30, 31. 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 53, 90 92, 103 Methodus fluxionum non consistit in forma symbolorum. Pro fluxionibus ipsarum x, y, z, Newtonus quandoque ponit easdem literas punctis notatas

\dot{x}

\dot{y}

\dot{z}

, quandoque easdem forma majuscula X, Y, Z, quandoque literas alias ut p, q, r, quandoque lineas exponentes ut DE, FG, HI (pag. 37.) Et hoc Newtonus in hunc usque diem facit, uti videre licet in Libro de Quadraturis, ubi fluxiones in Propositione prima denotantur per literas punctatas, in ultima per ordinatas Curvarum, in Introductione per alia symbola dum Newtonus ibi Methodum explicat illustratque per Exempla (pag. 37.) Omnia Newtoni symbola sunt in suo genere quæque genere prima (pag. 37, 38.) In Principijs Naturæ Mathematicis Newtonus calculo suo fluxionum Analytico Newtonu utendi non habuit frequentem occasionem: Nam Liber ille inventus est quidem per Synthesin Analysitn, at scriptus est per synthesin more veterum ut oportuit (pag. 39.) At Analysis tamen per Synthesin illam ita elucet, ut Leibnitius ipse olim agnoverit Newtonum non solum methodo sua tangentes duxisse sed majora multo consecutum, viso demum libro Principiorum, se satis intellexitsse (pag. 52.) Et alibi de sublimi quadam parte methodi qua Newtonus solidum minimæ resistentiæ invenerat, hæc verba habent, Quam methodum ante D. Newtonum et me, nullus quod sciam Geometra habuit, uti ante hunc maximi nominis Geometriam, nemo se habere, PROBAVIT (pag. 34) Et in Epistola ad Newtonum data Hanoveræ 1683 7 Mart. 1693 ita scripsit: Mirifice ampliaveris Geometriam tuis seriebus, sed edito Principiorum opere ostendisti patere tibi quæ Analysi receptæ non subsunt. Conatus sum ego quoque notis commodis adhibitis &c. (pag. 30.) De hoc Libro hoc Libro Principiorum sic locutus est etiam Machio Hospitalius quasi totus fere per hunc Calculum compositus esset. (pag. 30) Literæ punctatæ prima vice comparuerunt, non (ut hic dicitur) in tertio Volumine Operum Wallisij quod prodijt anno 1699, sed in secundo Volumine Operum ejus quod prodijt anno 1693, annis utique duobus anqtequam fama calculi diffentialisdifferentialis ad aures Wallisij pervenit (pag. 10. 31, 32, 40, 41,) & annis tribus antequam Marchio Hospitalius Analysin suam infinite parvorum edidit, qua calculus differentialis ubique locorum invalescere cœpit. (pag 26 ) Newtonus nunquam mutavit litera o in literam

\dot{x}

punctatam uno puncto, sed litera illa o usus est in Introductione ad Librum de Quadraturis, & adhuc utitur in eodem sensu ac sub initio idque maximo cum fructu (pag. 8, 9, 136, 37, 38.) Methodus fluxiones capi- Vera methodus fluxiones fluxionum capiendi hoc est differentiandi differentialia habetur in Propositione prima Libri de Quadraturis (p. 10, 40.) emdi seu differentiandi differentialia habetur in Propositione prima Libri de Quadraturis; Et Regulam ibi traditam verissimam Leibnitius optime noverat esse optime noverat D. Leibnitius Eam optime noverat; eademque lu Idem noverat Iudex ab ipso constitutus: eandemque cum exemplis in differentijs primis et secundis Wallisius edidit in Tomo secundo Operum suorum pag 392, 393 &c idque annis anno 1693 ut supra, annis scilicet tribus antequam Regula Leibnitianaorūum differendi differentialia lucem vidit. (pag. 10, 40, 41.) Eandem Regulam Newtonus demonstravit synthetice in Lem. II Lib. II. Princip ((p. 30,)) & posuit in Epistola ad Oldenburgum 24 Octob. 1676 data tanquam fundamentum hujus methodi de qua tum ante annos quinque scripserat (pag. 8) [In eadem Epistola, ut et antea in Epistola ad D Collins 10 Decem 1672 data, Newtonus dixit methodum Tangentium Slusij ex hoc fundamento prompte consequi] Et in Epistola ad Collinium 10 Decem 1672 data, addit Problemata de Curvarum Curvatura seu Geometricarum sive Mechanicarum251carum per eandem methodum solvi. Ex quio manifestum est se jam tum suam Methodum ad secunda ac tertia momenta extendisse: Cum enim Areæ Curvarum considerantur tanquam fluentes, (ut in hac Analysi fieri solet,) ordinatæ exprimunt fluxiones primas; Tangentes autem datæ sunt per fluxiones secundas, & Curvaturæ per tertias (p. 9.) Et anno 1669 in Analysi per series Newtonus ait dixit;, Momentum est superficies, cum de solidis; & Linea cum de superficiebus; & punctum, cum de lineis agitur: quod perinde est ac si dixisset; cum solida considerantur tanquam fluentia, eorum Momenta fluentia sunt superficies sunt, & horum momentorum momenta (vel secunda Momenta) Lineæ sunt; & horum Momenta (sive tertia Momenta) puncta sunt (p. 9, 10) adeoque qua ratione momenta prima derivantur a fluentibus, secunda derivantur a primis, tertia a secundis & sic deinceps in infinitum. Et quomodo momenta prima derivantur a fluentibus ostenditur in Analysi per series inveniendo Ordinatas ex aresis fluentibus (p. 7, 8, 9, 10, 11, 12 92 ) In eadem Analysi Newtonus dixit se b curvarum areas & longitudines id modo fiat, beneficio ejusdem Analyseos exacte & Geometrice determinari (pag. 90 lin 17) Et methodus hæcce Newtono innotuit annis aliquodt antea testibus Barrovio et Collinio (pag. 103. lin. 26, 27, 328, 33) id est anno 1666 aut antea. Hæc methodus aliquatenus explicatur in Epistola 24 Octob 1676 ad Oldenburgum data, ibique ibique ex Propositione prima Libri de Quadraturis consequi dicitur. (pag 150, 151) sed & in Libro illo Propositioniebus quinta et sexta Libri illius plenius explicatur & hæ Propositiones ex Propositionibus quatuor primis Libri de Quad ejusdem consequentur, ideoque Methodus fluxionum quatenus in Propositionibus quinque vel sex primis Libri de Quadraturis exponitur, Newtono innotuit Newtono innotuit anno 1666 aut antea, Newtono innotuit testibus Barrovio et Collinio; ut et teste etiam Wallisio (pag. 32) (p. ) Est enim Et est symbolum unicum quo N. utitur pro quantitate infinite in indefinite parva,. et Nam rectangulum sub fluente hoc symbolo fluxionis hoc symbolo o et symbolo fluentxionis (vel expresso vel subintellecto) & symbolo fluxionis pro alijs quantitatibus infinite parvis semper ponitur ponitur. Et symbolum

\dot{x}

non momentum vel differentiam sed motum fluxionis significat. (pag Eat symbolum

\dot{x}

quantitatem finitam designat (pag. 8, 9, 36, 37, 38. 252 In yethe year Anno 16898 Mr D. Newton D. Leibnitius Sectiones duas primas Libri secundi Principiorum Newtoni alijs verbis alijs composuit & sine symbolis itio anni proximi in Actis eruditorum edidit sine symbolis suis verbis dis apertis sine symbolis edidit & subinde addidit sub finem addidit hæc verba. Multa ex his deduci possent praxi accommodata, sed nobis nunc fundamenta Geometrica jecisse suffecerit in quibus maxima consistebat difficultas. Et fortassis attente consideranti vias quasdam novas satis antea impeditas appæruisse videbimur. Omnia autem respondent nostræ Analysi infinitorum hoc est calculo summarum ac differentiarum (cujus elementa quædam in his Actis dedimus) communibus quoad licuit verbis hic expresso. Hasce omnes vias novas satis antea impeditas Newtonus in Sectionibus illis duobus antea prius prius aperuerat Omnia Et Omnia om autem respondent ejus Analysi per infinitorum, hoc est calculo per fluxiones fluentes & momenta (cujus elementa dedit in Lem. II Lib. II Princip) ut et in Analysi per series) communibus quoad licuit verbis illic expresso. 252 To SrSir Isaac Newton Nov:rNovember 5 SrSir Tis with great unwillingess I give yoyoo this trouble, after yryour very many & great favours yoyoo have been pleas'd in the most generous manner to grant me I have had the unhappiness of sickness in my family near 2 Months. I shall be very much obliged to yoyoo, & thankfull for a Guinea; wchwhich will at this time be most seasonable I am, SrSir, wthwith all respect & thankfullness for yryour great kindness, YrYour most obliged H: SertServant Iohn Arnold p. 98, lin penult & p. 120, lin. 7.

1 + 1 + 2 \sqrt{1 + 3}

NB. Hæc omnia refutantur supra p. 9, 10, 12, 32, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 52. Newtonus methodum fluxionum docuit & exemplis illustravit absque literis punctatis in Introductione ad librum de Quadraturis, absque literis punctatis ibique etiam usus litera o pro incremento constante ipsius x: & his non obstantibus me veram methodum differentiand differentialia in Propositione prima ejusdem Libri docuit (p. 10.. Hanc Propositionem Wallisius e cum exemplis in Propositionibus primis et secundis & Literis punctatis in DiffentijsDifferentijs primis & secundis Wallisius edidit in Tomo secundo operum suorum anno 1693 annis fere duobus antequāam fama methodi differentialis Leibnitianæ ad ejus aures pervenerat et in eodem secundsecundo Tomo literæ punctatæ lucem viderunt. Eandem Prop. Newtonus demonstravit synthetice in Lem II Lib. II Principiorum Eandem Newtonus posuit in Epistola ad Colliniu Oldenburgium 24 Octob. 1676 data tanquam fundamentum methodi de qua tum ante annos quinque scripserat (pag.. In eadem Epistola Newtonus posuit Methodum suam quadrandi Curvas Figuras curvilineas accurate si fieri potest hac Propositione fundatam (pag ) quam methodum is habuit anno 1669 (pag. 90. l. 18) ut et annis aliquot antea testibus Barrovio e Collinio (pag. 103 ) id est anno 1666 ut Etiam aut antea, ut etiam Wallisius de methodo fluxionum testatum reliquit. (pag 32 ) Newtonus nunquam mutavit literam o in literam

\dot{x}

(p. 36, 37).