Collations for the History of the Infinitesimal Analysis

113

termini residui semper habebunt forman illam quam perprœcedentem Regulam habere debent.

Hæc Regula eodem modo demonstratur ubi tres vel plures habentur quantitates indeterminatæ x, y, z &c.

Hactenus Manuscriptum illud vetus. Inde vero hæc descripsi ut vera Lemmatis hujus origo pateret & quale esset methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis, celavi sententiam in Scholio præcedente expositam involventibus, ~~nempe~~id est sententiam: Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.

In Epistolis meis 10 Decem. 1672 & 24 Octob. 1676 datis, dixi quantitates surdas methodum meam non morari, et hanc rem exemplo explicui in Analysi mea prædicta. Substitatur utique in æquatione pro quantitate radicali symbolum quodvis, tractetur symbolum ut quantitas radicalis et ejus fluxio.

♀♀Si fluxiones pro fluentibus habeantur, operatione repetita prodibunt earium fluxiones, id est, fluentium primarum fluxiones secundœ, & sic deinceps in infinitum. Fluxionibus autem secundis et momentis secundis in hisce Principiorum Libris nonnunquam usus sum, ~~inque~~ In Lib. II, Prop. X exempl. 1, fluxionem secundam Curvaturæ vocavi variationem variationis ejus, & in ejus dem Libri Prop XIV Cas. 3, momentum secundum Areœ vocavi differentiam momentorum ejus. ~~Eorum~~ Momentorum secundorum subsidio Demonstrationem illam Propositionis Keplerianæ quam in Lib. I Prop. XI descripsi, utique locutus sum in Epistola mea 10 Decem 1672 ad Collinium data, ut et variationem Curvaturæ de qua egi in Tractatu quem anno 1671 composui, et curvaturam maximam vel minimam de qua egi in eodem Tractatu ut et in Manuscripto prædicto ~~tractatu quodam parvo~~ quem scripsi ~~sub finem~~ mense Octobri annis 1666; in quo etiam literis punctatis nonnunquam usus sum. Si fluxiones pro fluentibus habeantur, operatione repetita prodibunt earum fluxiones, id est, fluentium primarum fluxiones secundæ; & sic deinceps in infinitum. Fluxionibus autem secundis et momentis secundis in hisce Principiorum Libris nonunquam usus sum ut videre licet in Lib. II, Prop. XIV, Cas 3. Earum subsidio inveni tum demonstrationem illam Propositionis Keplerianæ anno 1671 quam in Lib. I, Prop XI descripsi, tum Curvaturam Curvarum multo ante, de qua utique locutus sum in Epistola mea 10 Decemb. 1672 ad Collinium data. Set et in chartis vetustioribus determinando Linearum Curvaturam, nunc literis punctatis nunc alijs symbolis usus sum.

Computationes per fluentium momenta sæpe contrahuntur resolvendo fluentem uno temporis momento fluendo auctam, in seriem convergentem, ut fit in Scholio ad Prop. XCIII Lib. I. Nam termini seriei proportionales sunt fluxionibus et momentis, secundus terminus fluxioni primæ et momento primo, tertius fluxioni secundæ et momento secundo, & sic deinceps; et multiplicati ~~per~~ respective per terminos hujus seriei $1.1 \times 2.1 \times 2 \times 3.1 \times 2 \times 3 \times 4 .$ &c vertuntur in momenta, deinde divisi per terminos hujus $o . o o . o^{3} . o^{4}$ . &c vertuntur in fluxiones. Et ob hanc methodorum affinitatem et harmodniam eas conjunxi et ex utraque Analysin unam generalem ab initio conflavi, ut supra.

Ad eandem Analysin pertinet etiam artificium ducendi Curvam Analyticam per puncta quotcunque data, et ea ratione interpolandi Series quascunque. Nam si verbi gratia Series aliqua vel fluentium vel fluxionum habeantur, sed fluentes vel fluxiones in intermedijs seriei locis non habeantur: per interpolationem Seriei habeburitur eœdem in locis quibuscunque. deinde ex lege fluentium sic inventa prodibit lex fluxionum per methodum nostram, et contra. Artificij autem describendi Curvam per puncta data memini in Epistola prædicta, 24 Octobris 1676 data. Atque hecterus de Analysi qua usus sum in investigatione rerum quas in hosce Principiorum Libris composui.

115 termini residui semper habebunt formam illam quam per præcedentem Regulam habere debent. Hæc Regula eodem modo demonstratur ubi tres vel plures habentur quantitates indeterminatæ x, y, z, &c. Hactenus Manuscriptum illud vetus Inde vero hæc descripsi ut versa Lemmatis hujus origo pateret & quale esset in methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis celavi sententiam in Scholio præcedente expositem involventibus, id est, sententiam: Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa. In Epistolis meis 10 Decem. 1672 & 24 Octob. 1676 datis, dixi quantitates surdas methodum meam non morari, et hanc rem exemplo explicui in Analysi mea prædicta. Hactenus Manuscriptum illud vetus. In alio Manuscripto In alio Manuscripto Maij 16, 1666 composito, methodum solvendi Problemata per motum complexus fui Propositionibus seotem quarum ullima est Regula jam descripta eliciendi velocitates motum crescendi incrementorum vel decrementorum velocitates vel decrescendi ex æquatione quatitates crescentes vel decrescentes involvente. Et in allo Manuscripto quod mense Octobri ejusdem anni composui, descripsi easdem Propositiones septem et octavam addidi. Septimam vero sequentibus adauxi. Si in equatione quavis occurat Ex vetesibus autem Manuscriptis meis hæc descripsi Hæc autem me temporibus jam descriptis in annis 1665 et 1666 a me inventa fuisse Barrovius noster idoneus est testis; et eju per ea tempora Lucasianus Matheseos apad Cantabrigenses Professor, idoneus est testis Et ejus testimoniusm Collinius noster in Epistola sua ad. D Strode 26 Iulij 1672 sic protulit. Mense Septembri – – – – – obtineri queant hactenus Collinius. Indes alijs Epistolis Collinius in Epistola sua ad Iacobum Gregorium 25 Novemb. 1669 Collinius dixit Newtonum antequam ederetur Mercatoris Logarithmotechnia hanc methodum adinvenisse eamque ad omnes Curvas generaliter et ad Circulum diversimode applicuisse. Et in Epistola 11 Aug. 1676, ad Davidem Gregorium Iacobi fratemfratrem 11 Aug. 1676 data, asserit affirmavit Serierum infinitarūum doctriam a Newtono biennium antea excogitatam fuitsse quam ederetur Mercatoris Logarithmotechnia, & generaliter omnibus figuris applicatam. Hæc vero Collinium a Barrovio illum didicisse crudas. Et cum hæc omnia ad Tractatum de Quadratura Cu Analysi per Æquationes numero terminorum infinitas spectat a spectent, quem et utique. Barrovius eundem legerat & intellexerat, et ad Collinium miserat, & inde id inde discas non solum methodum quadra serierum sed etiam Analysin per series omnem in tractatu illo descriptam atque adeo methodum fluxionum per series universalem reditditam expositam jam anno 1666 test Barrovio inventam et generalem redditam fuisse, meque ex eo tempore methodum fluxionum et methodum serierum in unam generalem Analysin conjunxisse. In Tractatu quem Anno 1671 conscripsi, exposui primùm docui reductionem quantitatum in series convergentes per divisiones & extractionems radicum tam affectarum quam simplicium. Et his præmissis methodum fluxionum exposui et ad solutionem Problematum applicui Propositionibus varijs pluribus multis quarum duæ primæ erant hæ. Propb. 1 Relatione quantitatum fluentium inter se data, fluxionum relationem determinare. Solutio Fluentium v, x, y, z fluxionibus dictis l, m, n, r respectivè, Æquationem qua data relatio exprimitur dispone secundum dimensiones alicujus fluentis quantitatis puta x Prob. 2. Exposita Æquatione fluxiones quantitatum involvente invenire relationem quantitatum inter se. Et hHorum Problematum solutiones pluribus prosecutus fui deinde explicui exposui deinde ad aliorum Problematum solutiones applicui exposui prosecutus sum et P solutionem Problematis secunda per methodum serierum generalem reddidi. Et is deinde hæc Problemata ad aliorum solutiones adhibui. Et similiter in Epistola hic in hoc Manuscripto pluribus prosecutus sum ut fundamentum methodi meæ generalis, deinde et solutionem Proble ex methodo serierum et methodo fluxionum compositæ; deinde per hanc methodum docui solutiones aliorum Problematum. Hæc omnia ex veteribus Manuscriptis protuli ut vera Lemmatis hujus origo pateret et quale estset methodi meæ fundamentum illud quod anno 1676 literis transpositis celavi sententiam in Scholio præcedente expositam involventibus, id est, sententiam, Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa.; et quod a Scholium illud verbis fusioribus enarratum ita sonabit Ex ijsdem manifestum est quod per Scholium illud verbis fusioribus enarratum, ita sonabit. In literis quæ mihi cum Geometra peritissimo G.G. Leibnitio anno 1676 intercedebant, cum significarem me compotem esse Methodi determinandi Maximas et Minimas, ducendi Tangentes, quadrandi figuras curvilineas, solvendi inversas de Tangentibus Problemata, inveniendi Series qua areas Curvarum in Seriebus quæ finitæ evadunt ubi area per finitam seriem æquationem exhiberi potest, et similia peragend comparandi areas curvarum cum areis Sectionum Conicarum aliarumve figurarum simplicissimarum cum quibus comparari possunt, & & omnia prope dimen fere Problemata solvendi si forte numeralia quædam Diophantæis similia excipiantur, et hanc methodum in literis terminis surdis æque ac in rationalibus procedere, et methodum tangentium Slusij ex eadem nullo negatio primo intuitu profluere et fundamentum hujus methodi satis obvium esse sed illud me quoniam explicare non vacaret me anno 1671 de hac methodo Tractatum scripsisse, et fundamentum ejus satis obvium esse, sed quoniam explicare non vacaret, me idem literis transpositis idem celasse hanc sententiam involventibus Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa; fundamentum illud celasse ‡ ‡ Cum insuper ex literis Gregorij et meis datis 5 Sept. 1670 & 10 Decem 1672 & ad ipsum mense Iunio Anni 1676 missis, methodum Tangentium Slusij tam ex Methodo Tangentium Barrovij quam ex mea tanquam Corollarium prompte profluere didicisset & quomodo quantitates surdas effugerem in Analysi mea vidisset & hanc methodum esse Corollarium particule quoddam vel potius Corollarium methodi meæ: generalis et quomodo difficultates quantitatum surdarum inter computandum effugerem in Analysi mea vidisset: Vir Clarissimus —: Vir Clarissimus mense Iunio anni sequentis, postquam ex in methodum similem ope methodi tangentium Barrovij ex quæ Gregorius Methodum Slusij deduxerat, incidisset præcedentium incidisset vel saltem incidere potuisset, rescripsit se quoque in methodum ejusmodi methodum incidisse et methodum suam communicavit a mea vix abludentem præterquam in verborum et notarum formulis, et ex ijs quæ de methodo mea didicisset affinitatem inter methodos simul agnovit. Si fluxiones pro fluentibus habeantur –––––– usus sum. Computationes per fluentiam momenta ––––– conflavi ut supra. Ad eandem Analysis –––– 24 Octobris 1676 data. Atque hactenus ––––––– composui. Spectant vero hæc Cum vero hæc spectent ad Tractatum de Analysi per series quem Barrovius legerat intellexerat et ad Collinium miserat, et methodus in hoc Tractatu tradita pergat per series et fluxiones conjunctim & ejus e Area figuræ accurata si possibile sit sin unimus infinite vero propinqua prodire dicatur, et Series quarum ope hoc fit inventæ fuerunt per methodum fluxionum at in Epistola mea 24 Octob 1676 ad Oldenburgum data traditur: unde discas Analysim in Tractatu illo expositam quæ ex methodis serierum et fluxiorum componitur, a me annis aliquot antequam Tractatus ille ad Collinium mitteretur, a me inventam fuisse et generalem reditam fuisse. Sed Et asimili methodo inveni Solidum minimæ resistentiæ, quod per ipse Leibnitus primum fuit specimen in Lucem editum an] Sed et per momenta momentorum primorum inveni maximæ et minimæ in momentis primis et per hæc Sed et considerando momenta prima ut quantitates fluentes inveni solidum resistentiæ minimæ cujus memini in Scholio ad Prop. XXXIV Lib. II. Et Et hac Et Leibnitus ipse fatetur hoc fuisse specimen primum hujus methodi in Lucem Editum 117 In Propositionibus ② investigandis quantitas o ut mom particula temporis infinite parva vel momentum ejus (ubi dictum vel) spectatur & calculus compendij causa per approximationes sæpe procedit, exponendo utique chordas & arcus prescin Id & quantitas 0 ut plurimum subintelligitur. In ① demonstrandis, quantitas 0 est spectatur temporis vel quantitatis alterius cujuscunque alternus uniformiter fluentis indefinite parva sed finita tamen, spectatur & calculus totus per in finitis quantitatibus per Geometriam Euclidis accurate peragitur: et finito calculo, quantitas o evanes diminuitur et evanescit et ex ultimis quantitatum rationibus quantitatum rationibus simul evanescentium veritas Propositionis demonstrandæ (methodo Archimedea) colligitur. ④ Et ubi in æquationibus finitis res non succedit, hæ in infinitas reducuntur, idque vel per Regulam Binomij qua fractiones et radices no in principio Epistolæ ad Oldenburgum 13 Iunij 1676 edatæ expositam et exemplis illustratam, vel per extractionem radicis vel quantitatis fluentis ex æquatione affecta sive æquatio fluxionem non involvat, ut in Epistola illa & Compendio prædicto exponitur sive eadem fluxionem involvat ut in eadem epistola affirmatur & in schemate a D. Wallisio edito [in secundo Operum ejus Volumine p. 394 ] ostenditur et exemplo illustratur. Vel denique gradatim assumendo terminos seriei investigandæ eosque per conditiones Phabendo tanquam cognitos tractando donec ex conditionibus Problematis determinari possint Vbi ut in eadem Epistola affirmatur Vbi vero calcasluscalculus procedit in fini ③ Et a In hujusmodi calculis sæpe pergitur a quantitatibus fluentibus ad fluxiones, sæpe regreditur a fluxionibus ad fluentes idque vel per tres Regulas initio prædicti compendij positas, vel per alias figurarum Quadraturas in Tractatu de quadratura Curvarum expositas. Nam Propositiones in libro illo expositæ illic ejus Libri inventæ fuerunt ante annum 1676, Propositio prima in Epistaola prædicta habetur legitur. prope omnes spectant ad inversam methodum fluxionum & in Epistola præpdicta memor anno 1676 scripta tanquam in Tractatu illa ante ante queinquennium scripta comprehensæ memorantur ideoque ante annum illum inventæ fuerunt: & spectant autem ad inversam methodum fluxionum ⑤ Et ubi res per Analysin non bene succedit, si Curvæ alicujus cujus area desideratur Ordinatæ nonaliquot inveniri possunt, hab habebitur area Curvæ quam proxime per methodum differentialem Newtoni, describendo scilicet Curvam Geometricam Parabolici generis, quæ per terminos Ordinatarum: cujus Problematis solutionem Newtonus in Epistolæ prædicta sanno 16676 scripta se 5 Et ubi Curvæ per Analysin quadrari non possint methodum invenit describendi Curvam Parabolici generis per terminos Ordinatarum qua pro lubitu acceditur ad quæsitum ut in eadem Epistol affirmatur etiam in eadem Epistola. Et hactenus hæcusque Newtonus methodos suas per ea tempora methodos suas provexerat. Collinius vero, postquam Compendium prædictum a D. Barrovio acceperat, cœpit series pro quadratura circuli amicos suos de methodo serierum ibi descripta per literas ædmonere & Liter& hujus generis literæ pluraes in Commercio Epistolico impressæ sunt extant. Ex Et Iacobus Gregorius ex serie aliqua quam a Collinio acceperat, postquam multum olei & operæ in ista serie expiscanda impenderat, incidit in methodum serierum Newtoni sub finem anni 1670, & communicatis subinde seriebus cum Collinio seriebus pluribus a se computatis, vem licentiam ipsi dedit easdem cum amicis suis communicandi, & Collinius perinde series quas vel a Newtono vel a Gregorio acceperat liberrime communicabat. Interea: D. Leibnitius Londinum profectus, moram ibi trahebatxittraxit & anno 1671 Hypothesin suam Physicam novam ibi edidit & Regiæ Societati dicavit, & me in Epistola dedicatoria meminit commercij quod cum D. Oldenburgo pro habebat Societate illa mediante D. Oldenburgo habebat. Sub initio autem anni 16873 mense Martio migravit inde Lutetiam Parisiorum & in Gallia mansit usque ad mensem Septembrem Octobrem anni 1676. [Anno vero 1674 Iulij 15 scripsit ad Oldenburgum se seriem habere Theorema habere cujus ope Area circuli vel Sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum; & mox in Epistola 26 Octob 1674 ad Oldenburgum data, hæc fusias repetijt, dicendo se invenisse seriem numerorum valde simplicium cujus summa exacte æquatur circumferentiæ circuli posito diametrum esse unitatem] Anno vero 1663 ineunte cum sibi methodum esse ex quodam differentiarum genere colligendi terminos serierum rationalium serierum numeralium & a Pellio reprehenderetur quasi methodum Moutoni sibi arrogaret, Apollogiam scripsit ad D Oldenburgum 3 Feb. datam contendens quod ex schedis suis appareret (q monstrare posset inventionem suam et inveniendi modum et occasionem, & se quædam momenti maximi addidisset a Moutono & Reginaldo indicta, sed ab & his argumentis suffultus a coinventoris jure minime discessit. Hæc erat Deinde anno 1674 Literas duas ad Oldenburgum dedit Parisijs 15 Iulij et 26 Octobris, asserens in priore se Theorema habere cujus ope Area circuli vel Hyperbolæ sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum, & in posteriore eadem fusius repetendo & affirmando se invenisse seriem numerorum valde simplicium cujus summa exacte æquatur circulo circumferentiæ circuli posito Diametrum esse unitatem. Et quod eadem methodo etiam Arcus cujuslibet cujus sinus datur etiam geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor posset, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem ratione recursu: ut adeo necesse non sit, Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Quod in hac Epistola methodus vocatur in priore dicitur Theorema. Ibi dicit se Theorema habere cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem numerorum rationalium: hic dicit se methoum habere cujus ope vel vel Area circuli et ejusdem circumferentia vel Arcus quilibet per ejusmodi seriem exprimi potest idque licet ratio arcums ad circumferentiam totam non noscatur, si modo sinus hujus ratio arcus detur. Theorema igitur habuit quod arcus quilibet cujus sinus datur, in serie numerorum rationalium exhiberi posset, et per hoc Theo ope Theorematis hujus vel Aream circuli vel Sectoris ejus dati in serie numerorum rationalium exhibebat, et circumferentiam exhibere noverat; cedes & seriem quide Si ratio arcus ad circumferentiam non innotesceret, habebatur arcus solus, si ratio illa innotesceret habebatur etiam circumferentia tota. Theorema autem quo arcus quilibet cujus sinus datur in serie numerorum rationalium haberi potest ejusmodi est. Sit radius=1 &

sinus = x

, et arcus erit

x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c

. Hujus Theorematis demonstrationem D. Leibnitius per literas suas 12 Maij 1676 ad Oldenburgūum datas postea quæsivit a Collinoio, ideoque Theorema aliunde acceperat., & Demo Ab hoc Theomretemate deduxerat series numerales sed Theorema ipsum demonstrare nondum potuit:. demons Anno proximo Interea Oldenburgus literis D. Leibnitij respondendo, in Epistola 8 Decembris 1674 data, generalem descriptionem dedit methodi Gregorio serierum a Newtono & Gregorio exercitæ, & in epistola 15 Aprilis anno 1675 data series plures a Collinio acceptas ad D. Leibnitium misit in quibus erat series prædicta pro arcu cujus sinus dabatur & series alia pro arcu cujus tangens dabatur. Et D. Leibnitius 12 Maij 1675 rescripsit in hæc verba. Literas tuas multa fruge Algebraica rebpertas accepi pro quibi tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc prætur ordinarias curas Merchanicis imprimis negotijs distrahar, non potui examinare series quas misistis, ac cum meis comparare Vibi fecero perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via quadam sic satis diversas fuisse D. Leibnitius hic agnoscit. Acceperat ulique Theomata generalia quorum Demonstrationes ignorabat, invenerat tantum series memerorum rationalium ex aliquo Theoremateme pro arcu cujus sinus datur. Interea per transmutationem figurarum Barrovianis similem incidit in demonstrationem quandam Theorematis pro Arcu cujus Tangens datur et opusculum de hac Quadratura compositum b ab amicis in Gallia mox communicat sed ab illo tempore tectum materia sub manibus crescente Nam in Actis Eruditorum Anno 1691 mensis Aprilis Anno 1691 Hepag 178 ita scripsit: Iam anno 1675 compositum habebam opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore lectum; sed quod materia sub119 sub manibus crescente limare ad editionem non vacavit postquam aliæ occupationes supervenere; præsertim cum nunc prolixius exponere vulgari more quæ Analysis nostra nunc paucis exhibet, non satis operæ pretium videatur. Sensus est quod opusculum anno 1675 & deinceps ab amicis lectum, materia sub manibus crescente & ad Editionem limare non vacavit, præsertim postquam donec aliæ occupationes supervenere quæ magis impedimento fuerunt: deinde inventa Analysi differentiali, prolixius exponere non operæ pretium videbatur vulgari more quæ Analysis illa nova paucis exhibet, non satis operæ pretium videbatur. d S Sub finem anni 1676 & initium sequentis. D. Leibnitius per Angliam et Hollandiam domum redibat et aliæ occupationes mox supervenere: ideoque inventa est Analysis differentialis post Annum 1676 completum. Cum D. Leibnitius series duas pro inveniend earum quas anno s ab Oldenburgo accepisset, acceperat, a Collinio per Mohrum quendam denuo accepisset, & se prius accepisse oblitus estset: scripsit ille ad Oldenburgum postulavit ille Demonstrationem harum serierum per literas 12 Maij 1676 datas. ad Oldenburgum datas. Cum, inquit, Gregorius Georgius Mohr Danus, in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatum sibi a doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter arcum & sinum per infinitas series sequentes: Posito sinu

x

arcu z, radio 1

z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c

x = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} x^{9} - &c

Hæc, inquam, cum nobis attulerit ille quæ mihi valde ingeniosa videntur, & posterior imprimis series quæ elegantiam singularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris Vir Clarissime si demonstrationem transmiseris. Habebis ab vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc annis ad te perscripsisse credo, demonstratione tamen non addita quam nunc polio Demonstrationem hic intelligit pe seriei pro arcu cujus tangens datur. Anno superiore compositum habebat opusculum de hac Quadraturæ per ha Arithmeticæ per hanc seriem. ab amicis Demonstrationem hujus seriei jam promittit, eamqꝫque poliebat vulgari more ut post apparuit, ideoque An Analysin differentialem nondum invenerat. GIacobus Gregorius Sub finem anni 1665 Iacobus Gregorius emortuus est & quæ cum amicis communicaverat in unum corpus sollicitante D. Collinio Leipbnitio collecta sunt, et extat Collectio manu Collinij exarata cum hoc Titulo. Excerpta ex Gregorij epistolis cum D. Lebinitio communicanda tibique [i.e. Oldenburgo] postquam perlegerit ille reddenda. In hac Collectione Epistola Exemplar Episolæa Gregorij in Commercio Epistolico p ad Collinium 15 Feb. 1671 data & in Commercio Epistolico impressa p 25, in qua Gregorius seriem pro arcu cujus tangens datur communicaverat. Habetur et Epistola Newtoni ad Collinium 10 Decem Collinium ad L Missa fuit hæc Collectio ad Lebnitium inter post 14 Iunij & ante 11 Aug. 1676. Missam fuisse dicit Collinius in Epistola 11 Aug. 1676 data. Communicanda erat cum amicis Mathematicis, & remittenda, et D. Tschurnhausius eo Tempore Lutetiæ E in Epistola 1 Sept 1676 Parisijs data, se vidisse videtur insinuare videtur his verbis. Similia porro quæ in hac re [id est in Methodo serierum Newtoni] præstitit eximius Geometra Newtonus Gregorius memoranda re certe sunt, et quidem optime famæ ipsius consulturï, qui120 qui ipsius relicta Manuscripta luci publicæ ut exponantur operam navabunt. Certe quod quæ in hac re præstiterat Gregorius, præstiterat, Tschurnhausius non aliunde cognoscere potuit et memoranda vocare ac digna luce publica quam ex collectione e Man Literarum scriptorum scriptorum ejus a se visa. Cum D. Leibnitius demonstrationem quandam Theorematis pro sinu inveniendo arcu cujus sinus tangens datur, invenisset, & postulasset ab Oldenburgo & Collinio demonstrationem mTheorematis pro arcu cujus tangens sinus datur ut et Theorematis pro Tangente cuj sinu cujus arcus datur; id scripseest Methodum quo Newtonus series illas invenisset: Oldenburgus et Collinius Newtonum enixe rogarunt ut ipse methodum suam describeret cum D. Leibnitio communicandum; & Newtonus subinde methodum suam descripsit in Epistola 13 Iunij 1676 data, et sub finem epistolæ dixit fines Analyseos per ejusmodi infinitas æquationes nullum ampliare: Analysin per ejusmodi æquationes infinitas ad omnia pene problemata (si numeralia quædam Diophanteis similia excipiantur) sese extendere: non tamen omnino universalem evadere nisi per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas: id est per methodos in fluxionibus fundatis. 121 Historia brevis methodi serierum ex Monumentis antiquis deductam, Ex Epistola D Iacobi Gregorij ad D Collins 15 Februarij Anno 167

\frac{0}{1}

data, cujus habetur Autographum. Ex quo Epistolam ad te dedi, tres a te accepi, unam Decem. 15 alteram Decem. 24, tertiam Ianuarij nuper elapsi datam. Quod attinet Newtoni methodum universalem aliqua ex parte, ut opinor, mihi innotescit tam quoad Geometricas quam Mechanicas Curvas. Nihilo tamen minus ob series ad me missas gratias habeo, quas ut remunerem, mitto quæ sequuntur. Sit radius=r, Arcus=a, Tandens=t, Secans=s, Et erit

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{2}} + \frac{t^{5}}{5 r^{4}} - \frac{t^{7}}{7 r^{6}} + \frac{t^{9}}{9 r^{8}} + - &c

Eritque

t = a + \frac{a^{2}}{3 r^{3}} + \frac{2 a^{5}}{15 r^{4}} + \frac{17 a^{7}}{315 r^{6}} + \frac{62 a^{9}}{2835 r^{8}} + &c

s = r + \frac{a^{2}}{2 r} + \frac{5 a^{4}}{24 r^{3}} + \frac{61 a^{6}}{720 r^{5}} + \frac{277 a^{8}}{8064 r^{7}} + &c

NB Exemplar hujus Epistolæ missum fuit Lutetiam Parisiorum mense Iunio 1676 cum D. Leibnitio communicandum. Versbabatur autem D. Leibnitius in Anglia annis 1671, 1672 & 1673 usque ad mensem Martium. Deinde exemp Ex Epistolis quinqque quæ leguntur in Libro Epistolarum Regiæ Societatis N. 7. pag. 93, 110, 216, 235, 189, et quarum prima & et quinta secunda legreperiuntur Ex prima 15 Iliulij 1674 Leibnitij ad Oldenburgum data et in Tomo tertio operum Wallisij imppressæpressa impressæ in Tomo tertio Operum mathematicorum Wallisij. Alia mihi Theoremata sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est cujus ope Area Circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rætionalium continue productam in infinitum. Ex secunda quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 26 Octob 1674 data. Ratio Diametri ad circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem (non quidem memeri ad numerum (id enim foret absolute invenisse) sed per rationem Numeri ad totam quandam seriem Numerorum rationalium valde simplicem & Regularem. Eadem methodo [id est eodem Theoremate ] generali]. etiam Arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu: ut adeo necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse. Ex tertia quæ fuit 176 Oldenburgi ad Leibnitium 15 Apr 1675 data Mercatoris Logarithmotechnia ad Barroviam a m quamprimum viderat lucem, ad Barrovium a me fuit transmissa qui observato in ea infinitæ seriei usu ad Logarithmos construendos, rescribebat methodum illam jam aliquandiu a successore suo Newtono Ex tertia quæ fuit Oldenburgi ad Leibnitium 15 Apr. 1675 data Posita pro radio unitate, datoque

x

pro sinu ad inveniendum z arcūum series hæc est.

z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c

in infinitum. Et extracta radice hujus æquationis methodo symbolica, si dederis z pro arcu ad inveniendum x sinum series hæc est

x = z + \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} + \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} x^{9} + &c

Atque hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex sinu 30grad Ceulinij numeri facile struuntur. Consimiliter si ponas radium R et B sinum arcus Zona inter diametrum et Chordam illi parallelam est

= 2 RB - \frac{B^{3}}{3 R} - \frac{B^{5}}{20 R^{3}} - \frac{B^{7}}{56 R^{5}} - \frac{5 B^{9}}{576 R^{7}} - \frac{7 B^{11}}{1408 R^{9}} - &c

. Atque eadem series mutatis terminis signis termini secundi quarti et sexti &c inservit assignandæ areæ Zonæ æquilateris Hyperbolæ, vizt

= 2 RB - \frac{B^{3}}{3 R} - \frac{B^{5}}{20 R^{3}} - \frac{B^{7}}{56 R^{5}} - \frac{5 B^{9}}{576 R^{7}} - \frac{7 B^{11}}{1408 R^{9}} - &c

. Rursum dato Radio R et sinu verso sive sagitta a, ad inveniendam aream segmenti resecto a chorda pone

b^{2}

pro

2 R a

, et erit segmentum =

= \frac{4 ba}{3} - \frac{2 a^{3}}{5 b} - \frac{a^{5}}{14 b^{3}} - \frac{a^{7}}{36 b^{5}} - \frac{5 a^{9}}{352 b^{7}} - &c

Et arcus integer=

= 2 b + \frac{a^{2}}{3 b} + \frac{3 a^{4}}{20 b^{3}} + \frac{5 a^{6}}{56 b^{5}} + \frac{35 a^{8}}{576 b^{7}} + &c

Duæ hæ series D. Gregorio debentur, quas exhibuit ex eo tempore quo usus est hac methodo; quod ab ipso aliquot post annis factum, postquam scilicet intellexerat D. Newtonum generatim eam applicasse. Exinde quoque ad nos misit sSeries similes ad Tangentes naturales ex earundem Arcubus, et conversim obtinendum Ex. gr. pone Radium

= r

, arcum

a

, tangentem

t

; erit

t = a +

t = a + \frac{a^{3}}{3 r^{2}} + \frac{2 a^{5}}{15 r^{4}} + \frac{17 a^{7}}{315 r^{6}} + \frac{62 a^{9}}{2835 r^{8}} + &c

Et conversim ex tangente invenire arcum ejus

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{2}} + \frac{t^{5}}{5 r^{4}} - \frac{t^{7}}{7 r^{6}} + \frac{t^{9}}{9 r^{8}} + - &c

. Atque hoc factum cum vides, facile credideris &c posse eadem Methodo æque facile ex arcu &c. T NB Hanc Epistolam D. Leibnitius se accepisse per Epistolam sequentem agnovit sed subinde celavit & oblivioni tradidit, nulla ejus ejus deinceps vel seri vel in Epistolis vel in Actis eruditorum vel alibi serierum hic acceptarum mentione unquam facta; serierum Ex quarta quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 20 Maij, 1675, & cujus Autographum extat. Literas tuas multa fruge Algerbraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias Curas mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam. Nam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via sic satis singulari. NB Series acceptas a suis diversas esse D. Leibnitusius hic agnovit, non ausus eas sibi jam vindicare. Ex quinta quæ fuit Oldenbur Leibnitij ad Oldenburgum Parisij 28 Decemb. 1675 data, & cuj a Wallisio impressa & cujus autographum extat. Habebis et a me — meam Quadraturam circuli ejusque partium per seriem Numerorum rationalium infinitam, dequa aliquoties scripsi & quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavi. NB Series quam de qua aliquoties scripsit (sc. in Epistolis 15 Iulij & 26 Octob 1674) dabat arcum ex sinu. Hanc anno 1673 Geometris in Gallia communicare cæpit ut suam se communicasse hic dicit. Eandem ab Oldenburgo ut seriem Newtoni mense Aprili præcedente accepit suam esse in Literis mensis Maij non ausus esset dicere.. Seriem quæ dat arcum ex tangente, quamque hoc hoc anno 16995 ab Oldenburgo accepit ut supra, Geometris in Gallia ante finem hujus ut suam communicavit cœpit ante finem hujus ejusdem anni communicavit ut ipse de se testatus est in Actis Eruditorum Mensis Aprilis Anni 1691 pag 178 testatus est his verbis. Iam anno 1675 compositum habebatm opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore Lectum. Eodem anno Ia. Gregorius emortuus est. Anno proximo D. Leibnitius postulavit ab Oldenburgo et Collinio methodum Newtoni investigandi seriem quæ dat Arcum ex sinu & seriem reciprocam quæ dat d sinum ex arcu; idque per Epistolam sequentem. Ex Epistola ........... desiderio meo. NB. Oblitus est ajam D. Leibnitius se series hasce ante annum Anno præcedente a D. Oldenburgo accepisse, et unam earum anno 1674 sibi vindicasse Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgum, 27 Aug. 1676 data, & a D. Wallisio in lucem edita Sit QAIF Sector duabus rectis in Centro Q concurrentibus, & curva Conica AIF ad verticem A sive axis extremum perveniente comprehensus. Tangenti verticis AT occurrat tangens IFT IpumIpsum AT vocemus t, et rectangulum sub semi-latere recto in semilatus transversum sit Vnitas. Erit Sector Hyperbolæ, Circuli vel Elipseos per semilatus transversum divisus

= \frac{t}{1} \pm \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{5}}{5} \pm \frac{t^{7}}{7} + &c

signo ambiguo ± valente

+

in Hyperbola,

-

in Circulo vel Ellipsi. Vnde posito quadrato circumscripto 1 erit Circulus

\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + &c

. Quæ expressio, jam Triennio abhinc & ultra a me communicata amicis haud dubie omnium possibilium simplicissima est maximeque afficiens mentem. — Vicissim ex seriebus Regressuum pro Hyperbola hanc inveni Qui seriem Historia brevis methodi serierum ex Monumentis antiquis deductam. Hanc methodum serierum a Newto Newtonuos in Analysi per æquationes numero terminorum infinitas composito descriptam D. Barrovius mense Iulio anni 1669 cum ad D. Colliniūumo communicabit misit & Collinius Series ein eadem descriptas mox communicavit D I. Gregorius antea cum amicis. Et D. Gregorius sub finem anni 1670 in eandem methodum incidit & initio anni sequentis series plures cum D. Collinio per Epistolas communicavit & licentiāamtiamlicentiam simul dedit easdem cum amicus communicandi. D LeibnitiExus Epistola in Anglia versabatur initi annis 1671 1672 & 1673 usque ad mensēemm Martium, deinde Lutetiam Parisiorum profectus, seriesm Newtoni aliquas ut suas ibi communicavit pro Arcu ex sinu dato ut suam communicare cæpit sed methodum inveniendi hanc seriem postea quæsivit a Collinio per literas suas ad Oldenburgum datas & et iInterea series plures is ab Collinio accepit per Literas E Literas Oldenburgi accepit, et cum earum aliquam per transmutationem quandam figurarum demonstrare didicitsset eandem ut suam eodem anno communicavit, celateis LOldenburgi Literis. Vt hæc res res clar Vt Monumenta ex quibus hæc desumuntur, hac sunt jam subjungimus Et mox 3series 2quasdam 1alias a Newtono acceptas ad se transferre conatus est & licet methodum perveniendi ad easdem nondum didedit intelligeret. Monumenta ex quibus hæc desumpta sunt jam subjungimus. Theorema vel NB Methodus generalis vel Theorema generale de quo agitur in hisce duabus Epistolis, dat seriem pro sSectore vel Arcu ex sinu assumptos, Et ubi ratio sSectoris ad Circulūum totum vel Arcus ad Circumferentiam totam datur, habetur, dat etiam circulūum totum vel circumferentiam totam. in Et hæc est series numerorum rationalium continue productam in infinitum de qua agitur in his Epistolis. NB. D. Leibnitius se series suas ab acceptis diversas esse & seque in easdem ante annos aliquot invenisse prof incid invenisse hic professus asserit, sed series ab hic acceptis diversas nondum protulit. NB. D. Leibnitius series su se series suas ab accep series acceptas a suis diversas esse hic asserit accesserit fatetur, seque suas ante annos aliquot invenisse dicit; at series pro circulo ab acceptis diversas nunquam nondum protulit. demonstrare didicit ante finem Aanni hujus, idque per transmutationem quandam figurarum, ac Demonstrationem mox communicavit ut ipse in Actis Eruditorum &c. NB. Hæc scripsit D. Leibnitius quasi series nullas anno superiore de quibus hic agitur anno superiore ab Oldenburgo minime accepisset & quasi seriem pro Arcu ex Tangente ali aliquot abhinc Annois ad Oldenbur scripsis set ad Oldenburgum de serie pro Arcu ex Tangente cujus demonstrationem jam nunc poliebat. Hanc seriem Hoc prætextu seriem pro Arcu ex Tangente ut suam remisit ad Oldenburgum per Epistolam sequentem. NB D. Leibnitius hic seriem q pro arcu ex Tangente quam se anno superiore exab Oldenburgo accepisses p agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. innotuisset. Hoc NB D. Leibnitius [se anno superiore] sSeriem pro arcu cujus tangens datur hic descriptam D: Leib se anno superiore ab Oldenburgo accepisse agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. Cum hoc non fecerit candor ejus in dubium merito vocatur. Dicit quidem se ante tres annos id est anno 1673 seriem hanc cum amiscis communicasse: quod verum esse potuit. Sed non dicit se Demonstrationem ejus cum ante tres annos cum amicis communicasse. Demonstrationem ejus anno superiore communicare cœpit ut ips ex ipsius verbis supra notavimus. Et qui seriem ante tres annos habuit, demonstratrionem vero ante tres annos non habuit, seriem aliunde habuit. D. Leibnitius utique in Anglia diversabatur annis 1671, 1672, & initio anni 1673 Collinius toto hoc tempore Series Newtoni & Gregorij cum amicis com mathematice doctis liberrime communicabat. Et hi cum amicis suis easdam proculdubio libere communicabant. Et D. Leibnitius cum ijsdem commercium habiuit deinde mLeibnitius cum anno 1673 in Galliam profectus seri seriem hujusmodi seriesm aliquam vel forte plures cum amicis ibi communica cœpit sed sine demonstrationibus. Anno 1674 g gloriabatur in Literis ad Oldenburgūum datis se seriem quandam habere pro circumferentia circuli vel etiam pro arcu quovis cujus sinus datur licet ratio arcus ad circumferentiam totam non innotesceret. Vnicam tantum seriem pro circumferentia circuli tunc gl se ha tunc jactabat; non eam quæ prodit ex tangente data sed eam quæ prodit ex sinu dato; sed demonstrationem vero sed postea quæsivit ab Oldenburgo utroque nondum habuit. Si seriem quæ prodit ex tangente tunc demonstrare potuisset, certe hanc prætulisset. Vtramque accepit ab OldndburgoOldenburgo mense Aprili anni 1675, neutram tunc sibi vindicare ausus est, sed series suas se habere ab acceptis diversas t et quasque cum acceptis comparare velle tunc professus est acceptas cum a suis, comparare se distinxit, et EoAb eo tempore seriem pro arcu ex sinu dato sibi arrogare desit.) At in demonstrationem quandam particularem seriei pro arcu ex tangente data jam incidens, eandem communicavit cum Gallis eodem anno, et vi demonstrationis hujus eandem ut suam remisit Oldenburgo et Newtono & in publ lucem tandem emisit celata Oldenburgi Epistola qua ipsam eandem ab Oldenburgo acceperat. That Vt D. Leibnitius jus habeat122 jus habeat in hanc seriem, debet et probandum est ipsum eandem habu demonstrare potuis habuiss antequam accepit ab Oldenburgo, eandem demonstrare potuisse ante annum 1675, eandem et habuisse cum et demonstrationere potuisse ante annum 1671. aliter Aliter jus in eandem non habebit nisi ex dono Collinij et Oldenburgi. Non sufficit candorem D. Leibnitij allegare. Nemo prose ipso testis esse esse potest. Nemo candidus hoc postulabit contra leges gentium. Proband o sunt quæ ipse pro se affirmat: præsertim cum in hac ipsa novissimæ Epistola, is series ali quasdam a Neto alias a Newtono acceptas pen et abque methoduom Regressuum se mi minime inveniendas, ad se traducere conatuts est fuit, et & simul postulavit ut Newtonums Newtonum tamen in eadem sl epist mox rogavit ut is amplius explicaret quomodo in Methodo Regressuum se gerat, ut cum ex Logarithmo quærit Numerum. Seriem quæ ex Logarithmo dat Numerum suam esse voluit & mox s b memoriam lapsus amitter sui oblitus simul quærit Methodum qua series hæc ipsa inveniri potuitsset. Methodum vero Regressuum duplicem Newtonus in literis proximis eo 24 Octob 1676 datis exposuit & D. Leibnitius his lectis & relectis tandem anno 1671 Iulij 12mo respondit, se quoque 2methodo 1Regressuum altera aliquando usum in veteribus suis schedis reperire: sed cum in exemplo quod forte in manus suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series itaque prædictas pexr hisceanc Regressuum methodosum minime invenerat. Methodos alias non habuit. Probandum est quod methodum ipsam olim unquam unquam invenerat. Vir candidus, Vir prudens, Vir modestus, Vir candidus Vir justus de inventioris jure venire proprio testimonio contra leges minime contendet lites movebit. de Inventoris jure lites minime lites movebit. D. Leibnitius ajus suum in methodum sSerierum aut probare debet aut aut renunciare. Com Methodum vero Regressuum Newtonus duplicem in literis proximis 24 Octob. 1676 datis exposuit, Et cum D. Leibnitus addiditque inversa de Tangentibus Problemata esse in potestate aliaque illis difficiliora ad quæ solvenda usus esset duplici [serierum] methodo una concinniori, alia generaliori. Vtra Et utramque complexus est hac sententia. Vna methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione Seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminorum homologorum æquationis resultantis ad eruendos terminos assumptæ seriei. Leibnitius vero anno proximo Literis hisce lectis et relectis anno proximo respondit se quoque quod altera Methodorum duarum Methodorum Regressuum se quoque aliquando usum esse in veteribus schedis reperite: sed cum in exemplo quod forte in manus incidit suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series itaque prædictas per hanc Regressuum methodum minime inveneerat. Et Probandum est quod methodum ipsam olim inveneerat, quodque methodum quæ consitstit in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita inveratnerat ante annum 1677. Vir prudens, Vir modestus, Vir candidus, Vir justus proprio nixus testimonio de Inventonis jure lites minime movebit. D. Lebnitius si candidus si probus haberi velit jus suum in methodum serierum aut probare debet aut renunciare. 123 Historia brevis Methodi serierum ex Monumentis antiquis desumpta. Methodum sSerierum a Newtono in ejus Analysi per Æquationes numero terminorum infinitas descriptam D. Barrovius mense Iulio Anni 1669 ad D. Collinium misit & D. Collinius series in eadem descriptas mox communicare cæpit cum amicis. D. Iacobus Gregorius Abredonenis acceptis aliquot seriebus, sub finem anni 1670 in eandem methodum incidit & initio anni sequentis series plures cum D. Collinio per Epistolas communicavit eique licentiam simul dedit easdem cum amicis communicandi. D. Leibnitius in Anglia versabatur Annis 1671, 1672 & 1673 usque ad Mensem Matrtium, deinde Lutetiam Parisiorum profectus, seriem Newtoni pro Arcu ex sinu dato ut suam communicare cœpit, sed methodum inveniendi hanc seriem postea quæsivit a Colliniao per literas suas ad Oldenburgum datas. Itenterea series plures is a Collinio accepit per Literas Oldenburgi accepit, et cum earum aliquam per transmutationem quandam figurarum demonstrare didicisset eandem ut suam eodem anno communicavit celatis Oldenburgi Litteris. Et alias quasdam series a Newtono mox acceptas ad se transferre conatus est, licet methodum perveniendi ad easdem nondum didicisset. Monumenta Ex quibus omnibus patet inventionem methodi serierum ad D. Leibnitium nullatenus pertinere. Monumenta ex quibus hæc desumpta sunt jam sequuntur. Ex Epistola D. Iacobi Gregorij ad D. Collins 15 Februarij Anno 1671

\frac{0}{1}

data, cujus extat Autographum. Ex quo Epistolam ad te dedi, tres a te accepi, unam Decem 15, alteram Decem. 24, tertiam 21 Ianuarij nuper elapsi datam. Quod attinet Newtoni methodum inuniversalaem, aliqua ex parte, ut opinor, mihi innotescit, tam quoad Geometricas quam quoad Mechanicas Curvas. Nihilo tamen minus ob series ab me missas gratias habeo, quas ut remunerem, mitto quæ sequuntur. Sit Radius r, Arcus a, Tangens t, secans s, et erit

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{2}} + \frac{t^{5}}{5 r^{4}} - \frac{t^{7}}{7 r^{6}} + \frac{t^{9}}{9 r^{8}} + - &c

. Eritque

t = a + \frac{a^{3}}{3 r^{3}} + \frac{2 a^{5}}{15 r^{4}} + \frac{17 a^{7}}{315 r^{6}} + \frac{62 a^{9}}{2835 r^{8}} + &c

. Et

s = r + \frac{a^{2}}{2 r} + \frac{5 a^{4}}{24 r^{3}} + \frac{61 a^{6}}{720 r^{5}} + \frac{277 a^{8}}{8064 r^{7}} + &c

NB. Exemplar hujus Epistolæ missum fuit Lutetiam Parisorum mense Iunio Anni 1676, cum D. Leibnitio communicandum, qui utique postulaverat ut Collectanea Gregorij anno superiore emortui eo mitterentur. Ex Epistolis quinque quæ leguntur in Libro Epistolarum Regiæ Societatis N. 7, pag. 93, 110, 216, 235 & 189; et quarum prima secunda et quinta reperiuntur impressæ in Tomo tertio Operum Mathematicorum Wallisij. Ex primæ quæ fuit Leibnitij ad Oldenburgum 15 Iulij 1674 data Alia mihi Theorema sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope Area cCirculi vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum. Ex secunda quæ fuit D. Leibnitij ad D. Oldenburgum 26 Octob. 1674 data Ratio Diametri ad Circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem non quidem Numeri ad Numerum (id enim foret absolute invenisse) sed per rationēem Numeri ad totam quandam seriem Numerorum rationalium valde simplicem & Regularem. Eadem methodo [id est, eodem Theoremate generali] etiam arcus cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest, nullo ad integræ integræ circumferentiæ dimensionem recursu: ut ædeo necesse non sit Arcus rationem ad circumferentiam nosse. NB. Methodus vel Theorema generale de quo agitur in hisce duabus Epistolis dat seriem pro Sectore vel Arcu ex sinu assumpto, et ubi ratio Sectoris ad circumferentiam totam Circulum totum vel Arcus ad Circumferentiam totam habetur, dat etiam Circulum totum vel Circumferentiam totam. Et hæc est Series numerorum rationalium de agitur in hacis Epistolais. Ex Epistola tertia quæ fuit Oldenbergi ad Leibnitium 15 Apr. 1675 data. Posita pro radio unitate, datoque

x

pro sinu, ad inveniendum

z

arcum, series hæc est.

z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c

in infinitum. Et extracta radice hujus æquationis methodo symbolica, si dederis

z

pro arcu, ad inveniendum

x

sinum series hæc est,

x = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} z^{9} + &c

. Atque hæc series facile continuatur in infinitum. Prioris beneficio ex sinu 30grad. Ceulenij numeri facile continuantur struuntur. Consimiliter si ponas radium

R

B

sinum arcus, Zonæa inter diametrum et chordam illi parallelam est

= 2 RB - \frac{B^{3}}{3 R} - \frac{B^{5}}{20 R^{3}} - \frac{B^{7}}{56 R^{5}} - \frac{5 B^{9}}{576 R^{7}} - \frac{7 B^{11}}{1408 R^{9}} - &c

. Atque eadem series mutatis signis termini secundi quarti et sexti &c inservit assignandæ areæ Zonæ æquilateris Hyperbbolæ

= 2 RB + \frac{B^{3}}{3 R} - \frac{B^{5}}{20 R^{3}} + \frac{B^{7}}{56 R^{5}} - \frac{5 B^{9}}{576 R^{7}} + \frac{7 B^{11}}{1408 R^{9}} - &c

Rursum dato Radio

R

et sinu verso sive sagitta

a

, ad inveniendam aream segmenti resecti a chorda, pone

b^{2}

pro

2 R a

, et erit segmentum

= \frac{4 ba}{3} - \frac{2 a^{3}}{5 b} - \frac{a^{5}}{14 b^{3}} - \frac{a^{7}}{36 b^{5}} - \frac{5 a^{9}}{352 b^{7}} - &c

Et arcus integer

= 2 b + \frac{a^{3}}{3 b} + \frac{3 a^{4}}{20 b^{3}} + \frac{5 a^{6}}{56 b^{5}} + \frac{35 a^{8}}{576 b^{7}} + &c

. Duæ hæ series D. Gregorio debentur, quas exhibuit ex eo tempore quo usus est hac methodo; quod ab ipso aliquot post annis factum, post quam scileticet intellexerat D. Newtonum generatim eam applicasse. Exinde quoque ad nos misit series consimiles ad Tangentes naturales ex earundem arcubus, et conversim, obtinendum. Ex. gr. Pone radium

= r

, arcum

a

, tangentem

t

; erit

t = a + \frac{a^{3}}{3 r^{2}} + \frac{2 a^{5}}{15 r^{4}} + \frac{17 a^{7}}{315 r^{6}} + \frac{62 a^{9}}{2835 r^{8}} + &c

. Et conversim ex tangente invenire arcum ejus,

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{2}} + \frac{t^{5}}{5 r^{4}} - \frac{t^{7}}{7 r^{6}} + \frac{t^{9}}{9 r^{8}} - &c

Atque hoc factum cum vides, facile credideris, posse eadem methodo æque facile ex Arcu inveniri Sinum vel Tangentum Logarithmicum absque inventione naturalis et conversim. Pronum quoque tibi fuerit credere Methodum hanc applicari posse ad rectificationem quarumlibet Curvarum &c particulatim vero ad lineam Quadratricem, & ad inveniendam Aream illius Figuræ: id quod nulla antehac nulla demum cum methodo fuit præstitum. &c. NB. Hanc Epistolam D. Leibnitius se accepisse agnovit per Epistolam sequentem agnovit, sed eandem subinde celavit quasi non accepisset; nulla ejus deinceps vel in Epistolis vel in Actis Eruditorum vel alibi mentione unquam facta. Ex Epistola quarta, quæ fuit D Leibnitij ad D Oldenburgūum cum Newtono communicanda quæque dabatur 20 Maij 1675 & cujus Autographum extat. Literas tuas multa fruge Algebraica refertas accepi pro quibus tibi et doctissimo Collinio gratias ago. Cum nunc præter ordinarias curas mechanicis imprimis negotijs distrahar non potui examinare series quas misistis ac cum meis comparare. Vbi fecero perscribam tibi sententiam meam. aNam aliquot jam anni sunt quod inveni meas via sic satis singulari NB. D. Leibnitius series acceptas a suis diversas esse hic fatetur, seque suas ante annos aliquot invenisse dicit, at series pro circulo ab acceptis diversas nondum protulit. 124 Ex Epistola quinta quæ fuit D. Leibnitij ad D. Oldenburgum tquæque Parisijs 28 Decem 1675 data fuit et cujus exautographum extat. Habebis et a me — meam Quadraturam Circuli ejusque partium per seriem numerorum rationalium infinitam, de qua aliquoties scripsi et quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavit. NB. Series de qua aliquoties scripsit (sc. in Epistolis 15 Iulij & 26 Octob. 1674) dat arcum ex sinu ut supra. Hanc se anno 1673 Geometris in Gallia ut suam communicasse hic dicit. Seriem quæ dat Arcum ex Tangente, quamque hoc Anno acceperat ab Oldenburgo ut supra, & suam esse tunc minime noverat, demonstrare didicit ante finem anni hujus idque per transmutationem quandam figurarum ac Demonstrationem mox communicavit cum amicis ut ipse in Actis Eruditorum Mensis Aprilis Anni 1691 pag. 178 testatus est his verbis. Iam anno 1675 compositum habebam Opusculum Quadraturæ Arithmeticæ ab amicis ab illo tempore lectum. Eodem anno D. Iacobus Gregorius emortuus est. Anno proximo D. Leibnitius postulabat ab Oldenburgo et Collinio methodum Newtoni investigandi seriem quæ dat sinum ex arcum ex sinu & seriem reciprocam quæ dat sinum ex Arcu; idque per Epistolam sequentem. Ex Epistola D. Leibnitij ad Oldenburg, Parisijs 12 Maij Anno 1676 data, cujus Autographum in Scrinijs Regiæ Societatis asservatur, cum Notis manu Oldenburgi in tergo scriptis. Cum Georgius Mohr Danus in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatam sibi a Doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter Arcum et Sinum per Infinitas Series sequentes: Posito Sinu

x

Arcu

z

Radio 1

z = x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c

x = z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} + \frac{1}{362880} z^{9} - &c

Hæc INQVAM, cum nobis attulaerit illæ, quæ mihi valde ingeniosa videntur, et posterior imprimis series elegantiam singularem quandam singularem habeat, ideo rem gratam mihi feceris, vir clarissime, si demonstrationem transmiseris. Habebis vicissim mea ab his longe diversa circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc Annis ad te perscripsisse credo, Demonstratione tamen non addita quam nunc polio. Oro ut Cl. Collinio multam a me salutem dicas: is facile tibi meateriam suppeditabit satisfaciendi desiderio meo. NB. Hæc scripsit D. Leibnitius quasi series de quibus hic agitur, anno superiore ab Oldenburgo minime accepisset, et quasi aliquot abhinc annis scripsisset ad Oldenburgum de serie pro Arcu ex Tangente cujus seriei demonstrationem nunc poliebat. Hoc prætextu seriem illam ut suam remisit ad Oldenburgum per Epistolam sequentem Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgum 27 Aug. 1676, data, et a Wallisio in lucem edita. Sit QAIF Sector duabus rectis in centro Q concurrentibus, et Curva conica AIF ad verticem A sive Axis extremum perveniente comprehensus. Tangenti verticis AT occurrat Tangens IFT. Ipsum AT vocemus

t

, et rectangulum sub semi-latere recto in semilatus transversum sit Vnitas. Erit Sector Hyperbolæ, Ciraculi, vel Ellipseos per semilatus transversum divisus

= \frac{t}{1} \pm \frac{t 3}{3} + \frac{t 5}{5} \pm \frac{t 7}{7} &c

. signo ambiguo ambiguo ± valente

+

in Hyperbola,

-

in Circulo vel Ellipsi. Vnde posito quadrato circumscripto

1

, erit Circulus

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} - \frac{1}{9} - &c

. Quæ expressio, jam triennio abhinc et ultra a me communicata amicis haud dubie omnium possibilium simplicissima est, maximeque afficiens mentem. &c Vicissim ex seriebus Regressuum pro Hyperbola hanc inveni. Si sit numerus aliquis Vnitate minor

1 - m

, ejusque Logarithmus Hyperboliculs l. Erit

m = \frac{l}{1} - \frac{l l}{1 \times 2} + \frac{l^{3}}{1 \times 2 \times 3} - \frac{l^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4} +

&c. Si numerus sit major unitate, ut

1 + m

tunc pro eo inveniendo mihi etiam prodijt Regula quæ in Newtoni Epistola expressa est; scilicet erit

n = \frac{l}{1} + \frac{l^{2}}{1 \times 2} + \frac{l^{3}}{1 \times 2 \times 3} + \frac{l^{4}}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + &c

. Quod Regressum ex Arcubus attinet incideram ego directe in Regulam quæ ex dato Arcu sinum complementi exhibet &c Sed desideraverim ut Clarissimus Newtonus nonnulla quoque amplius explicet; ut — quomodo in Methodo Regressuum se gerat, ut cum ex Logarithmo quærit Numerum. Neque enim explicat quomodo id ex methodo sua derivetur. NB. Seriem pro arcu cujus Tangens datur hic descriptam D. Leibnitius se annao superiore ab Oldenburgo accepisse agnoscere debuisset ut id Newtono innotesceret. Cum hoc non fecerit candor ejus in dubium merito vocatur. Dicit quidem se ante tres annos, id est anno 1673 seriem hanc cum amicis communicasse; quod versum esse potuit. Sed non dicit se Demonstrationem ejus ante tres annos cum amicis communicasse. Demonstrationem ante tres annos anno superiore communicare cœpit ut ex ipsius verbis supra notavimus: et qui seriem ante tres annos habuit Demonstrationem vero ante tres annos non habuit, seriem aliunde habuit. Vt D. Leibnitius jus habeat in hanc seriem, probandum est ipsum eandem habuisse antequam accepit ab Oldenburgo, eandem demonstrare potuisse antequam annum 1675, eandem et habuisse et demonstrare potuisse ante annum 1671. Aliter jus nullum in eandem habebit nisi ex dono Collinij et Oldenburgi. Non sufficit candorem Leibnitij allegare. Nemo pro se ipso testi esse potest. Nemo candidus hoc postulabit contra leges gentium. Probanda sunt quæ ipse pro se affirmat: præsertim cum in hac ipsa Epistola, is series quasdam tres alias a Newtono acceptas, et absque methodo Regressuum minime inveniendas, tanquam a se prius inventas sibi arrogare conatus fuit, et methodum Regressuum tamen nondum intellexit. Newtonum enim in eadem epistola mox rogavit ut is explicaret quomodo in methodo Regressuum se gerat ut cum ex Logarithmo quærat numerum seriem quæ ex Logarithmo dat Numerum, suam esse voluit, et mox sui oblitus quærit methodum qua series hæc ipsa inveniri potuisset. Methodum vero Regressuum Newtonus duplicem in Literis proximis 24 Octob. datis exposuit, addiditque inversa de Tangentibus Problemata esse in potestate alique illis difficiliora, ad quæ solvenda usus esset duplici methodo [serierum] methodo una concinniore, altera generaliori. Et utramque complexus est hac sententia Vna methodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex qua cætera commode derivari possunt, & in collatione terminorum homologorum æquationis resultantis ad eruendos terminos assumptæ seriei. D. Leibnitius vero anno proximo, Litteris hisce lectis & relectis respondit quod altera duarum methodorum Regressuum se quoque aliquando usum esse in veteribus Schedis reperit: sed cum in exemplo quod forte in manus suas sumpserat, nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series itaque prædictas per hanc Regressuum methodum minime invenerat. Probandum est quod methodum ipsam olim invenerat, quodque methodum quæ consistit in assumptione seriei pro quæantitate qualibet incognita, invenerat ante annum 1676. Vir prudens, modestus, candidus justus proprio nixus testimonio lites de Inventoris jure lites minime movebit proprio innixus testimonio. D. Leibnitius si candidus si probus haberi velit jus suum in methodum serierum aut probare debet aut renun Hanc enim ut suam in Actis Eruditorum Anni 1693. pag 178 explicuit. explicuit. explicuit ut suam edidit, & Na Newtono primum inv inventam fuisse nondum agnovit. D. Leibnitius125 D. Leibnitius vero anno proximo, Literis hisce lectis et relectis respondit quod se quoque aliquando usum esse altera [duarum methodorum] in veteribus schedis reperit: sed cum nihil prodijsset elegans, solita impatientia eam porro adhibere neglexisse. Series itaque tres prædictas, utpote elegantes, per hanc methodum Regressuum minime invenerat, methodum aliam Regressuum non habuerat. Sed nec ipsum hac methodo in veteribus schedis usum esse concedendum est. Ipse pro se testis esse non potest. Probandum est quod methodum aliquam Regressuum prius invenerat quam a Newtono acceperat. Nam licentia rapiendi aliorum inventa sub candoris prætextu, nemini concedendum est. Tandem D. Leibnitius in Actis Eruditorum Anni 1693, pag 178 methodum Newtoni solvendi Problemata per assumptionem seriei pro quantitate qualibet incognita in lucem edidit ut suam & a Newtono primum inventam fuisse nondum agnovit. Certe Leibnitius Anno 1676 ubi scripsit multa esse Problemata quæ ad æquationes aut quadraturas reduci nequeunt, qualia sunt inversa Tangentium Problemata, hanc methodum non invenerat: Newtonus autem eandem hoc anno in Epistola prædicta descripsit ut supra. Constat igitur quod D. Leibnitius nullaum habeat jus in methodum serierum. Nam transmutatio figurarum quam jactat non est methodus serierum convergentium. Est Lemma quoddam ad inveniendum momentum areæ per seriem quadrandæ. Et hoc Lemma momentum dedit more vulgari, & post inventionem methodi differentialis nullius amplius fuit usus. Add 3968126 Out of Mr Newton's Treatise De de Analysi per æquationes infinitas. communicated sent by Dr Barrow to Mr Collins yethe 31th of Iuly 1669.   Methodum generalem quam de Curvarum quantitate per Infinitam terminorum seriem mensuranda olim excogitaveram, in sequentibus breviter explicatam potius quam accurate demonstratam habes. Basi AB Curvæ alicujus AD, sit Applicata BD perpendicularis: Et vocetur

AB = x

, &

BD = y

, & sint a, b, c, &c quantitates datæ, & m, n numeri integri. Deinde Reg I Si

a x^{\frac{m}{n}} = y

, erit

\frac{a n}{m + n} x \frac{m + n}{n} = areæ ABD

. Vt si

x^{2} = y

, erit

\frac{1}{3} x^{3} = ABD

. Reg II. Si valor ipsius y ex pluribus ejusmodi terminis componitur, area etiam componetur ex areis quæ a singulis terminis emanant. Vt si sit

1 1 + x x = y

, ac dividendo prodibit prodibit

y = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + x^{8} - &c

Unde per Regulam secundam, erit

ABDC = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{9} x^{9} - &c

And after many severaseveral instances of squaring finding the areas of Curves by infinite series he adds. Et hæc de Areis Curvarum investigandis dicta sufficiant &c. Et hæc de areais curvarum investigandis dicta sufficiant. Imò cum problemata omnia de Curvarum longitudine, de quantitate et superficis solidorum deque centro gravitatis, possunt eo tandem reduci ut quæratur quantitas superficiei planæ lineâ curvâ terminatæ, non opus est quicquam de ijs adjungere. In istis autem quo ego operor modo dicam brevissime Sit ABD Curva quævis et AHKB rectangulum cujus latus AH vel BK est unitas. Et cogitacogita rectam DBK uniformiter ab AH motammotam areas ABD et AK describere; et quod BK(1) sit MOMENTVM quo AK(

x

) et BD(

y

) momenMOMENTVM quo ABD gradatim AVGETVR; et quod ex MOMENTO BD perpePERPEtimTIM datoDATO, possis, per præcedentes regulas aream ABD ipso descriptam investigare, sive cum AK(

x

) MOMENTO 1 descripta conferre. Iam quas ratione superficies ABD ex MOMENTO SVO PERPETIM DATO per præcedentes regulas eliciturELICITVR, eâdem quælibet alia QVÆLIBET ALIA QVANTITAS EX MOMENTO SVO sic dato DATO ELICIETVR. Exemplo res fiet clarior Sit ADLE circulus cujus arcus AD longitudo est indaganda. Duto tangente DHT et completo indefinite parvo rectangulo HGBK et posito

AE = 1 = 2 AC

; erit ut BK sive GH momentum basis AB (

x

), ad HD momentum arcus AD∷BT.DT∷BD (

\sqrt{x - x x}

): DC(

\frac{1}{2}

)∷1(BK):∷BD(D

x - x x

\frac{1}{2 \sqrt{x - x x}}

(DH) Adeoque

\frac{1}{2 \sqrt{x - x x}}

sive

\frac{\sqrt{x - x x}}{2 x - x x}

est momentum a MOMENTVM arcus AD. Quod reductum fit

\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{16} x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{32} x^{\frac{5}{2}} - \frac{35}{256} x^{\frac{7}{2}} + \frac{83}{512} x^{\frac{9}{2}} +

- \frac{63}{816} x^{\frac{11}{2}}

+ &c

. Quare per Regulam secundam, longitudo arcus AD est

x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{40} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5}{112} x^{\frac{7}{2}} + \frac{35}{1152} x^{\frac{9}{2}} + \frac{63}{2816} x^{\frac{11}{2}} + &c

. Non secus ponendo CB esse

x

et radium CA esse

1

, invenies arcum LD esse

x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + &c

Sed notandum est quod unitas ista quæ pro momento ponitur est superficies cum de solidis & linea cum de superficiebus et punctum cum de superficiebus lineis (ut in hoc exemplo ) agitur. And after some more instances of yethe use & extent of this method he adds Nec quicquam hujusmodi scio ad quod hæc methodus isque varijs modis sese non extendit — Et quicquequid vulgaris Analysis per æquationes ex finito terminorūum numero constantes (quando id sit possibile) perficit hæc per æquationes infinitas semper perficiat: ut nil dubitaverim nomen Analysis etiam huic tribuere Ratiocinia quippe in hac non minus certa sunt quam in illa, nec æquationes minus exactæ; licet omnes earum terminos, nos homines et rationis finitæ nec designare neque ita concipere possimus ut quantitates inde desideratas exacte cognoscamus: sicut radices surdæ finitarum æquationum nec numeris nec quavis arte Analytica ita possunt exhiberi ut alicujus quantitas a reliquis distincta exacte cognoscatur. Denique ad Analyticam merito pertinere censeatur cujus beneficio curvarum areæ, & longitudines & (id modoaNB I have an instances of these such infinite series the & 6 Proposition of the Book of g Mr Newtons Letter of the 24th of October 1676 where hee tells Mr Leibnitz that he found those series by the method of fluxions. Id est seribus in finitas æquationes (eo modo fiat) migrantibus Exempla habes talium serierum in Epistola Newtoni data 24 Octob. 1676, ubi dicit se ejusmodi series per methodum fluxionum invenisse. fiat) exacte et Geometrice [æquationibus scilicet infinitis in finitas migrantibusbus] determinentur. Sed ista narrandi non est locus. Respicienti duo præ reliquis determinanda demonstranda occurrunt. Sit itaque curvæ alicujus [Here write on to the words Quare e contra, si

a x^{\frac{m}{n}} = y

, erit

\frac{n}{m + n} a x \frac{m + n}{n} = z

. Q.E.D. Hinc in transitu notetur modus quo curvæ tot quot placuerit, quarum areæ sunt cognitæ, possunt inveniri; sumendo nempe quam libet æquationem pro relatione inter aream

z

et basem

x

ut inde quæratur qapplicata

y

[momentum scilicet areæ fluentis z]. Vt si supponas

\sqrt{a a + x x} = z

, bNB b Calculus ita se habet. Sint

o

o v

momenta ipsorum

x

z

ut supra et erit

a a + x x = z z

a a + x x + {}^{2}x z o + o o = z z + o v + o o v v

et deletis æqualibus reliquisque per o divisus fit

2 x o + o = 2 z v + o v v

& desletis in finite parvis prodit

x = z v

v = \frac{x}{z} = \frac{x}{\sqrt{a a + x x}}

. Et similibus computis ex data relatione inter abscissam & aream cujrvæ cujuscunque per ad 1 applicatam, invenietur ordinata, id est ex data quavis æquatione relationem inter fluentes definiente quantitates involvente invenientur fluxiones.ex calculo invenies

\frac{x}{V a a + x x} = y

. Et sic de reliquis. Let the Letter of Slusius about tangents in answer to Mr Collins, dataed in 1672 or 1673 be added Ex Epistola D. Old Leibnitij ad D. Oldenburgium datam Lutetiæ Parisiorum 15 Iuly 1674. Alia mihi Theoremata sunt, momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati, exacte exprimi potest per seriem quandam Numerorum rationalium continue productam in infinitum. Sed et Methodos quasdam habeo Analyticas habeo generales admodum et late fusas quas majoris facio quam Theoremata particularia et exquisita. Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgium data Lutetiæ Parisiorum 26 Octob 1674 Ratio diametri ad circumferentiam exacte a me exhiberi potest per rationem non numeri ad numerum (id enim foret absolute invenisse;) sed per rationem Numeri ad totam quandam seriem numerorum rationalium valde simplicem & regularem. Eadem methodo etiam arcûs cujuslibet cujus sinus datur, Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest. Ex Epistola D. Leibnitij ad D. Oldenburgiam data Ian vel Feb 1675 Methodum celeberrimi Newtoni radices æquationum inveniendi per instumentum Credo differre a mea. Neque enim video, in mea, quid aut Logarithimi aut circuli concentrici conferant. Scripsisti aliquoties, Vestrates omnium Curvarum dimensiones per appropinquationem dare. Velim noscse, an possint dare Geometrice Dimensionem Curvæ [absque] Ellipsos vel Hyperbolæ quadratura. This Epistole is copied in the books of yethe R. Society & was published by D. Wallis from another copy wthwithout a Date. Ex Epistola D. Leibnitij ad D Oldenburgium data Paris. 16 28 Decem. 1675 Quod D. Tschurnhausium ad nos misisti fecisti pro amico. Multum enim ejus consuetudine delector &c Mittam et viam meam perveniendi ad radices irrationales altiorum graduum Habebis et a me Instrumentum Æquationes omnes Geometricas construendi unicum et meam quadraturam Circuli ejusque partium per seriem Numerorum rationalium infinitam; de qua aliquoties scripsi, et quam jam plusquam biennio abhinc Geometris hic communicavi. 127 Out of Mr Newtons treatise de Analysi per Æquationes infinitas. Out of Mr Newton's first Letter sent to Mr oldenbug 13 Iune 1676 & by Mr Oldenburgh to Mr Leibnitiz 26 Iune following Ex his videre est quantum fines Analyseos per hujusmodi infinitas æquationes ampliantur: quippe quæ earum beneficio ad omnesia pene dixerim, problemata (si numeralia Diophaanti & similia excipias) sese extendit. Non tamen omnino universalis evadit nisi per ulteriores quasdam methodos exliciendi series infinitas. Sunt enim quædam problemata, in quibus non liceat ad Series Infinitas per divisionem vel Extractionem Radicum simplicium affectarumve, pervenire. Sed quomodo in istis casibus procedensdum jam non vacat dicere; ut neque alia quædam tradere quæ circa Reductionem Infinitarum Serierum in finitas ubi rei natura tulerit, excogitavi. Nam parcius scribo quod hæ speculationes diu mihi fastidio esse cœperunt, adeo ut ab ijsdem jam per quinque fere annos abstinuerim. Out of Mr Leibnits answer dated from Paris Aug 27 1676 Mea methodus [reducendi quantitates ad series infinitas] Mercator Figuras rationales . . . . . ad infinitas series reducere docuit per Divisiones Newtonus autem per radicum extractiones. Mea methodus Corollarium est tantum doctrinæ generalis de Transformationibus cujus ope Figura proposita quælibet quacunque æquatione explicabilis transmutatur in aliam Analyticam æquipollerntem; talem ut, in ejus Æquatione, ordinatæ dimensio non ascendat ultra cCubum aut Quadratum, aut etiam simplicem dDignitatem, seu Infimum gradum. Ita fiet ut quælibet Figura vel per Extractionem rædicis cCubicæ vel qQuadraticæ, Newtoni more; vel etiam methodo Mercatoris, per simplicem Divisionem ad series infinitas reduci queat . . . . . . . . . . AQCA sit quadrans Circuli: Radius

AQ = r

; Abscissa

A {}_{1}B = x

: Ordinata

{}_{1}B {}_{1}D = y

: Æquatio pro circulo

2 r x - x x = y y

. Ducatur recta

A {}_{1}D

, producaturque donec ipsi QC etiam productæ occurrat in

{}_{1}N

: et

Q {}_{1}N

vocetur vocetur z. Et erit

A {}_{1}B

seu

x = \frac{2 r^{3}}{r^{2} + x^{2}}

: et

{}_{1}B {}_{1}D

sive

y = \frac{2 z r^{2}}{r^{2} + z^{2}}

. Eodem modo, ducta

A {}_{2}D {}_{2}N

: si

Q {}_{2}N = Z - B

(posita scilicet

{}_{1}N {}_{2}N = B

) erit

A {}_{2}B = \frac{2 r^{3}}{r^{2} + x^{2} - 2 z β + β^{2}} - \frac{2 r^{3}}{r^{2} + z^{2}}

. Sive posita β infinite parva (post destructiones & divisiones,) erit

{}_{1}B {}_{2}B = \frac{4 r^{3} z β}{[2] r^{2} + z^{2}}

. Habita ergo recta

{}_{1}B {}_{1}D

, et recta

{}_{1}B {}_{2}B

habitur valor rectanguli

{}_{1}D {}_{1}B {}_{2}B

, multiplicatis eorum valoribus in se invicem; habebitur inquam

\frac{8 r^{5} z z β}{[3] r^{2} + z^{2}}

. pro valore Rectanguli

{}_{1}D {}_{1}B {}_{2}B

.NB. Hæcce transmutationum methodus per methodum differentialem jam multum abbreviari et ellegantior reddi potest. Namque ehabiequationelis

x = \frac{2 r 3}{r^{2} + z^{2}}

y = \frac{2 z r 2}{r r + z z}

, ex æqualint ore per methodum illāam fit

\frac{dx}{dz} = \frac{4 r 3 z}{[2] r r + z z}

. Et ob æquales areas Q1B1DC & C1N1P3P est

NP \times dz = {}_{1}B {}_{1}D \times dx

. seke

NP = \frac{y x dx}{dz} = \frac{8 r^{5} z^{2}}{[3] r r + z z}

\frac{8 r^{5} z z}{r^{6} + 3 r + z^{2} + 3 r^{2} + 3}

= \frac{8 r^{5} z^{2}}{r^{6} + r^{4} z^{2} + r^{2} z^{4} + z^{6}}

. Mirum est quod Leibnitius methodum transmutationum per ambages hactenus tractavit si forte methodum differentialem jam invereat. Sit jam Curvæ 1P2P3P &c natura pro arbitrio assumpta talis, ut Ordinata ejus 1N1P (ex data Abscissa Q1N sioe 2) sit

\frac{8 r^{5} z^{2}}{[3] r^{2} + z^{2}}

. Ideo, quoniam

{}_{1}N {}_{2}N = β

, erit rectangulum

{}_{1}P {}_{1}N {}_{3}N {}_{3}P {}_{2}P {}_{1}P P

æquale spatio Circulari respondenti

{}_{1}D {}_{1}B {}_{3}B {}_{3}D {}_{2}D {}_{1}D

. Est autem quælibet Ordinata NP rationalis, ex data Abscissa QN; quia posita

QN = 2

, Ordinata NP est

\frac{8 r^{5} z^{2}}{[3] r^{2} + z^{2}}

sive

8 r^{5} z^{2} r^{6} + 3 r^{4} z^{2} + 3 r^{2} z^{4} + z^{6}

. Ergo ipsa per infinitam seriem Integrorum exprimi potest dividendo. Et spatium labibus Ordinalis comprehensum æquipollens circulari, infinita serie numerorum rationalium, methodo Mercatoris Quadrari potest. Sed desideraverim ut Clarissimus Newtonus nonnulla quoque amplius explicet Vt originem Theorematis quod initio ponit: Item, Modum quo quantitates p, q, r in suis operationibus invenit; ac denique quomodo in methodo regressionum se gerat; ut cum ex Logarithmo quærit numerum. Neque enim explicat quomodo id ex Methodo sua derivetur. Nondum mihi licuit ejus Literas qua merentur diligentia legere: quoniam tibi 2 vestigio respondere volui. Vnde non satis nunc quidem affirmare ausim annon nonulla eorum quæ suppressit ex sola earum lectione consequi possim. Sed optandum tamen foret ipsum ea potius supplere Newtonum. Quod dicere videmini plerasque difficultates (exceptis Problematibus Didphantæis) ad series infinitas reduci: id mihi non videtur. sunt enim multa usque adeo mira & implexa, ut neque ab æquationibus pendeant, neque ex Quadraturis. Qualia sunt (ex multis alijs) Plroblemata methodi langentium inveræ Quæ etiam Cartesius in potestate non esse fassus est.NB Mr Leibnitz therefore had not as yet begun to apply differential AEquations to Prob inverse Problems of tangents.. But Mr Newton in his answer represents that he had two methods of solving these Problems by the fluxional Equations. 128 bis then thae own differential tho not essential necessary to the Method. For tho the second Volume of the works of Dr Wallis w as was published in the year 1693 yet the first Volume was not published till the year 1695 & the Editors of the Acta Eruditorum received both together & gave account of them both in the year 1696. The Marquess de l'Hospital tells us that where Dr Barrow left off th Mr Leibnitz went on & that he improved the Doctors method by shewing how to exclude fractions & surds, but he did not know that I gave Mr Leibnitz notice of this improvement in my Letters of 10 Decem 1672 & 24 Octob. 1676. Had he known this, he would not have thought said that Mr Leibnitz did me justice in acknowledging only that I found the method apart. Out of a Paper of M Acta Eruditorum fo Qui calculum Barro elementorum Calcul adumbravit A inibi conttum ign ab e 128 1889. 760000 Out of a Letter of Mr Oldenburgh to Mr Leibnitz dated the 30th of September 1675, a copy of wchwhich is extant in the hand of Mr Oldenburgh, entred in the books of the R. Society N.7, p. 159 & wchwhich was written in answer to the former. Scriptum quoddam Belgicum Belga quidam Georgius Moor vocatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Collinius ipsi communicavit. 1Out of a Letter of Mr Leibnitz to Mr Oldenburgh dated at Parish the 12th of May 1676 & found amongst the papers of the R. Society in the original hand of the author with notes on the back side in the hand of Mr Oldenburgh. Cum Georgius Mohr Danus . . . . . . . . . . . . . . . . . satisfaciendi desiderio meo. Vpon the receipt of thie Letter of Mr Leibnits dated yethe 12th of May Mr Oldenberg & Mr Collins sollicited Mr Newton for an account of his method of infinite series: Which occasioned his two Letters dated Iune 13th & October 24th 1676, with Mr Leibnits answers dated the first at Paris the

\frac{17}{27}

th of August 1676, the second at Hanover yethe 21th of Iune 1677, & a supplement to the second answer dated also at Hanover yethe 12th of Iuly 1677, & a Letter of Mr Collins to Mr Newton dated yethe 5t of March 167

\frac{6}{7}

, all printed by Dr Wallis. Et Cassitrus ipse 3282590 2Out of a Letter of Mr Collins to Mr Oldenburgh to be sent to Mr Leibnitz in answer to his Letter of the 12th of May at Paris: a copy of wchwhich was found in the hand writing of Mr Collins amongst his papers & dated the 14th of Iune 1676. In answer to Mr Leibnitz Letter of yethe 12th of May ............. was but as dawning to noon day. 5Out of a Letter of Mr Tschurnhause dated at Paris 16 1 Sept. 1676, a copy of wchwhich is extant in the handwriting of Mr Collins. Expectabam cum desiderio Responsum ............ operam navabunt. 4Out of a Letter of Mr Collins to Mr David Gregory the brother of Mr Iames Gregory newly deceased, dated yethe 11th of August 1676, a copy of wchwhich is extant in the handwriting of Mr Collins. I have drawn up an account of the Letter commerce . . . . . . . . . . . . . . . as himself acknowledgeth in his Letter of the 19th of December 1670. Out Nam tarditas Penduli sub Æquatore defectum gravitatis arguit, et quo leviore est materia eo major esse debet altitudo ejus ut pondere suo sustineat materiam sub polis in æquilibrio sustineat

\begin{matrix} 0 & 3.7,47 & 56912 \\ 10 & 3.7,52 & 56935 \\ 20 & 3.7,69 & 56999 \\ 30 & 3.7,95 & 57098 \\ 40 & 3.8,27 & 57220 \\ 49 & 3.8,56 & 57336 \\ 50 & 3.8,60 & 57349 \\ 60 & 3.8,92 & 57470 \\ 70 & 3.9,17 & 57569 \\ 80 & 3.9,34 & 57633 \\ 90 & 3.9,40 & 57657 \end{matrix}

13.72 ∷ \frac{1092}{1000}

17 \frac{1}{6}

\frac{103 \times 12}{13}

Constat autem per hanc Tabulam Hæc ita se habent ex hypothesi quod Terra sit uniformit ex uniformi materia constet. Nam Si materia ad centrum paulo densior sit quam ad circumferentiam, differentiæ pendulorum et graduum meridiani paulo majores erunt quam pro Tabula præcedente, Nam quo rarior est materia superior eo altior esse debet sub Æquatore at pondere suo cohibeat vim centrifugam Æquatore eo major debet esse altiduo materiæ at hæc pondere suo defectum vis gravitatis suppleat ac comprehet propterea quod –—– Iam vero Astronomi aliqi &c Deinde anno 1682 &c Posthæc D. Couplet filius &c Annis proximis (1699 & 1700) D. Des Hayes Latitudo autem Observavit utique D.Picartus Ano 1704 P. Fenelleus invenit &c Latutudo autem Paraibæ ..... & excessus Longitudinis &c Observavit utique D. Picartus ........ et inter hos limites quantitas mediocris est

2 \frac{9}{40}

linearum. Propter caloris locorum in zona torrida negligamus

\frac{9}{40}

partes lineæ et manebit differentia duarum linearum Vnde Et cum differentia lineæ unius et

\frac{8}{100}

partium 95 partium millerum Linæ illa ex hypothesi quod Terra ex materia uniformiter densa constat sit tantum

1 \frac{95}{1000}

lineæ: excessus altitudinis Terræ ad Æquatorem jam aullus in ratione supra altitudinem ejus ad polos qui erat milliarium

17 \frac{1}{6}

jam aullus in ratione differentiarum fiet milliarium

31 \frac{1}{3}

. Et Nam quo tardior est osculatio penduli sub æquat. eo minor est vis gravitatis, tab æquatore, et quo minor est vis gravitatis sub æquatore eo altior debet esse materia ut ponderuse suo suseat ejus æquale sit ponderi materiæ sub Polis. æqu [Ex hypothesi vero quod excessus longitudinis Pendulūum sub Æquatore superat si ad minuta secunda oscillans superat. Pendulūum isochronum sub Polis longitudine duarum linearum, longitudines Pendulorūum s isochronorum & mensuræ graduum in singulis Terræ regionibus exhibebit per eæ erunt quas Tab. sequens exhibet.] 129

\begin{array}{l} 57284 \frac{1}{2} \\ 57284 \end{array}

\begin{matrix} 0 & 0000 & 0,00 & 3.6,555 & 56515 & 7,46325 & 3 . 7,46 & 3.7,463 & 56907 \\ 5 & 015192 & ,0,2688 & 3.6,582 & 747792 & 3 . 7,48 & 7,478 & 56913 \\ 10 & 060307 & ,1,0642 & 3.6,662 & 752137. & 3 . 7,52 & 7,521 & 56930 \\ 15 & 133975 & ,236841 & 3.6,792 & 759236 & 3 . 7,59 & 7,592 & 56957 \\ 20 & 253456 & 4,1284 & 3.6,968 & 768872 & 3 . 7,69 & 7689 & 56995 \\ 25 & 357212 & 6,3034 & 3.7,186 & 780751 & 7,81 & 7808 & 57041 \\ 30 & 500000 & 8,8230 & 3.7438 & 56858 & 7∟945 & 7,95 & 7945 & 57095 \\ 35 & 657980 & 1,1,6173 & 3.7,717 & 8∟0977 & 8,10 & 8098 & 57154 \\ 40 & 826352 & 1,4,493 & 3.80137 & 8∟2596 & 8,26 & 8260 & 57218 \\ 45 & 1000000 & 1,7,646 & 3.8,3201 & 57200 & 8∟427 & 843 & 8427 & 57283 \\ 50 & 1173648 & 2,0799 & 3.8,627 & 8∟5943 & 8.60 & 8,594 & 57348 \\ 55 & 1342020 & 2,3675 & 3.8,923 & 8∟7563 & 8,76 & 8,756 & 57412 \\ 60 & 1500000 & 2,64690 & 3.9202 & 57543 & 8∟90886 & 8,91 & 8,909 & 57471 \\ 65 & 1642788 & 28989 & 3.9,454 & 9,0465 & 9,05 & 9,046 & 57525 \\ 70 & 1766044 & 3,1164 & 3.9672 & 91653 & 9,17 & 9,165 & 57571 \\ 75 & 1866025 & 3,2928 & 3.9,848 & 92616 & 9,26 & 9,262 & 57602 \\ 80 & 1939693 & 3,4228 & 3.9,978 & 93326 & 933 & 9,333 & 57626 \\ 85 & 1984808 & 3,4923 & 3.10,058 & 93760 & 938 & 9,376 & 57653. \\ 90 & 2000000 & 3,5292. & 3.10,085 & 57886 & 3.9∟39073 & 939 & 9,391 & 57659 \\ 49 & 1139173 & 3.8,56567 & 8,56084 & 8,56 & 8,561 & 57335 \\ 48 & 1104528 & 3.8,50456 & 8,5274 & 8,53 & 8,528 & 57322 \\ 47 & 1069756 & 3.8,4423 & 84939 & 8,49 & 8,494 & 57309 \\ 46 & 1034900 & 3.8,38084 & 57222 & 8,4604 & 8,46 & 8,461 & 57296 \\ 45 & 10000000 & 1,7646. & 3.8,3201 & 57200 & 3.8∟427 & 8,43 & 8,427 & 57283 \\ 48.50 & 1133399 & 2,0000 & 3.8,55555 & 57292 & 3.85555 & 8,56 & 8,556 & 57292 \end{matrix}

\begin{array}{r} 34645 & 11334 \\ 5774 & 2 \end{array} \begin{array}{r} 500000 (44115 \\ 45336 \\ 4664 \end{array}

\begin{array}{r} 9156 \\ 90672 \\ 888 \end{array} \begin{array}{r} 30384 (2683 \\ 22668 \\ 7716 \\ 68804 \\ 9156 \\ 7933 \\ 423 \end{array} \begin{array}{r} 1304 \\ 1706 \\ 573 \end{array}

\begin{array}{r} 2139512 & (18867 \\ 1006112 & 65555 \\ 90772 & 84423 \\ 98392 \\ 7620 \\ 6806 \\ 82 \end{array} \begin{matrix} 440∟555 \\ 442 \frac{1}{2} . 436 \frac{1}{2} \end{matrix}

\begin{array}{r} 2.15292 : 57292 \\ 28646 \\ 14323 \\ 57292 \\ 257814 \\ 5729 \\ 43805463 \end{array} \begin{array}{r} 442∟56 : : 57292 & (7768407 \\ 30975 \\ 34002 & 16,8540 \\ 3027 \\ 2655 \\ 372 & 90465 \\ 354 & 91653 \\ 1800 & 92616 \\ 177 & 3320 \\ 30 & 93762 \end{array}

\begin{array}{r} 131596 & (116036 \\ 1825 & 172 \\ 6922 \\ 68804 & 1216 \\ 1416 & 826 \\ 34002 & 7933 \\ 76 & 327 \end{array}

\begin{array}{r} 2069800 & (182529 \\ 9364 & 655555 \\ 90772 & 838084 \\ 2868 & 432 \\ 2268 & 8 \\ 600 \\ 5667 \\ 333 \\ 106 \end{array}

\begin{array}{r} ) 343752 & (77704 \\ 30975 & - 2 \\ 34002 & 776∟84 \\ 30975 & 57292 & 57292 \\ 3027 & - 777 & - 77684 \\ 30975 & 56515 & 5651516 \\ - 705 \\ 8845 \\ 1795 \\ 177 \\ 1.72465 \\ 57292 \end{array}

568585 2280000.5667 ∷ 440 \frac{5}{9}

\begin{array}{r} 120614 & (10634 \\ 7274 & 418 \\ 68004 \\ 4936 \\ 44336 \\ 4958 \end{array} \begin{array}{r} 5 \\ 1652704 (14493 \\ 5193 \\ 45336 \\ 6594 \\ 10604 \\ 102006 \\ 403 \end{array}

\begin{array}{r} \begin{matrix} 113917 \\ 000577 \end{matrix} (\begin{matrix} 100506 \\ 201012 \end{matrix} \\ 5696 \\ 074 \end{array}

\begin{array}{r} 7646 \\ 77684 \\ 543788 \\ 466104 \\ 310736 \\ 466104 \\ 593971864 \end{array}

\begin{array}{r} 776∟85 \\ 72465 \\ 543795 \\ 15537 \\ 3107 \\ 466 \\ 39 \\ 562944 \end{array}

\begin{array}{r} 440,55555 \\ 220277777 \\ 26433333 \\ 2643333 \\ 388388 \\ 249662839 & (1∟09501 \\ 2166 & 8555 \\ 2052 & 160 \\ 114283 \\ 114 \end{array}

\begin{array}{r} 72465 \\ 10923 \\ 72465 \\ 65218 \\ 1449 \\ 217 \\ 791536 \\ 746325 \\ 8254786 \\ 413176 \\ 192748 \\ 770992 \\ 578244 \\ 19725 \\ 9862 \\ 4931 \\ 79639442 \\ 746325 \\ 825964 \end{array}

\begin{array}{r} 467912 (41284 \\ 45336 \\ 14552 \\ 11334 \\ 3218 \\ 2267 \\ 951 \\ 9067 \\ 443 \end{array}

\begin{array}{r} 2000000 & (17646 \\ 8666 & 65555 \\ 79338 & 83201 \\ 7322 \\ 68004 \\ 5216 \\ 45336 \\ 6824 \end{array} \begin{array}{r} 2347296 \\ 22668 & (207102 \\ 80496 & 655555 \\ 79338 & 8,62657 \\ 1158 \\ 244 \end{array}

\begin{array}{r} 2209056 (1949005 \\ 10756 \\ 102006 \\ 55596 \\ 45336 \\ 10260 \\ 594 \end{array}

\begin{array}{r} 57292 \\ 5788597 \\ 5651516 \\ 11440113 \\ 5720056 \end{array}

\begin{array}{r} 362325 \\ 507255 \\ 14493 \\ 65228 \\ 1449 \\ 41516657 \\ 57292 \\ 56777 \end{array} \begin{array}{r} 57292 \\ 563 \end{array}

\begin{array}{r} 468 \\ 4533 \\ 147 \end{array} \begin{array}{r} 26795 & (23634 \\ 22668 & 41 \\ 4127 \\ 34002 \\ 7268 \\ 6800 \\ 468 \end{array} \begin{array}{r} 714424 (630337 \\ 68004 \\ 34384 \\ 34002 \\ 382 \\ 42 \\ 8 \end{array} \begin{array}{r} 65944 \\ 5667 \\ 9274 \\ 90772 \\ 1968 \\ 835 \\ 2 \end{array}

\begin{array}{r} (145817 \\ 655555 \\ 8∟01372 \end{array} \begin{array}{r} 0.7646.104 . \\ 1,0923 \\ 7646 \\ 68814 \\ 1529 \\ 229 \\ 1758 \\ 0∟835172 \\ 8555555 \\ 9390727 \end{array}

\begin{array}{r} 10923 \\ 4369 \\ 1,1360 \\ 7463 \\ 8∟599 \end{array} \begin{array}{r} 842699 \\ 939073 \\ 1781772 \\ 890886 \end{array} \begin{array}{r} 939073 \\ 746325 \\ 1685398 \\ 842699 \\ 746325 \\ 1589024 \\ 7945 \end{array}

\begin{array}{r} 2285667) 249662833 & (1∟092302 \\ 21096133 & 855555 \\ 20571003 \\ 525130 & 74632 \\ 457133 \\ 67997 \\ 6757 \\ 427 \end{array}

\begin{array}{r} 714424 (623274 \\ 68804 \\ 26384 \\ 22668 \\ 3716 \\ 3400 \\ 316 \\ 89 \end{array}

1095.2000.17 \frac{1}{6} .

\begin{array}{r} 3433333 (31363 \\ 3285 \\ 1483 \\ 3883 \\ 3285 \end{array} \begin{array}{r} 6983 \\ 6570 \\ 413 \end{array}

\begin{array}{r} 58086 \\ 10923 \\ 58086 \\ 52277 \\ 1162 \\ 174 \\ 634473 \\ 746325 \\ 809772 \end{array} \begin{array}{r} 20642 \\ 10923 \\ 20642 \\ 185778 \\ 4128 \\ 620 \\ 2254726 \\ 746325 \\ 7.68872 \end{array}

\begin{array}{r} 5321 \\ 10923 \\ 54615 \\ 32769 \\ 2185 \\ 109 \\ 0.0.581213 \\ 746325 \\ 7.52137 \\ 1453 \\ 747778 \\ 746325 \\ 1467 \\ 7,47792 \end{array} \begin{array}{r} 118205 \\ 10923 \\ 118205 \\ 1063845 \\ 23641 \\ 3546 \\ 12911537 \\ 746325 \\ 759236 \end{array}

\begin{array}{r} 31517 \\ 10923 \\ 31517 \\ 283653 \\ 6303 \\ 945 \\ 3442601 \\ 46325 \\ 7,80751 \end{array}

\begin{array}{r} 0∟1344 \\ 10923 \\ 1344 \\ 12096 \\ 269 \\ 40 \\ 146705 \end{array}

That for encouraging the bringing wrought Plate into the Mint to be coined there shall be allowed after the rate of five5 shillings & pence per ounce shtandard, the same being reduced to standard acby the gross weight of the plate & the assay of the Ingots melted out of the same. That the Master of th & Worker (by her MajtsMajesties Order That her MatyMajesty be pleased to give directions to the Master & Worker of her Mint to receive all such wrought plate as shall be brought into yethe Mint before the day & to give receipts for the same went at to accon such persons as shall bring the same, for yethe amount thereof according to yethe rate above mentioned & price agreed by the House to be allowed for such wrought plate as shall be brought to the Mint to be coined, & that the same be immediately coined into shillings & six-pences. That all such Receipts to be taken given by the Master of her MajtsMajesties Mint for any wrought Plate shall be accepted & taken for the full amount thereof in any her payments to be made upon any Loans or any contributions upon any funds to be granted this session of P.

24^{h} = 1440^{'} = 86400 ″ . - 236 ″ = ∷ 360 \times 17453292520

\begin{array}{r} 1 & 7292123519 \\ 9 & 5629111671 \\ 6 & 43752741114 \\ 9 & 65629111671 \\ 5 & 36460617595 = arc \\ 5 & 36460617595 = arc \\ 3 & 21876370557 = arc \\ 9 & 65629111671 \\ 14662230616∟1281741 \\ 22 \\ 1436223033∟81 = arc \end{array}

\begin{array}{r} 531750653873 \\ 4785755884857 \\ 531750653873 \\ 319050212324 \\ 47857558849 \\ 2658753269 \\ 265875327 \\ 159525196 \\ 47857559 \\ 10473115457 = \\ 0∟0523655∟7729 = sin vers \end{array}

\begin{array}{r} 1047197551200 \\ 6283185307200 (72921235∟17 \\ 7 . 603148 \\ 251705 \\ 2 172328 \\ 793773 \\ 9 775476 \\ 182970 \\ 2 172328 \\ 106427 \\ 1 86164 \\ 202632 \\ 2 172328 \\ 303040 \\ 3 253492 \\ 445480 \\ 5 430820 \\ 14660 \\ 6044 \\ 6031 \\ 1 \end{array}

\begin{array}{r} 510448646190 \\ 14584247034 \\ 6562911167 \\ 145842470 \\ 7292123 \\ 1458425 \\ 218764 \\ 36461 \\ 729 \\ 550 \\ 5317∟50653873 \end{array}

\begin{array}{r} 658382 \\ 3950292 \\ 329191 \\ 526705 \\ 19751 \\ 5267 \\ 132 \\ 43346685 \end{array}

\begin{array}{l} seu linearum 181 \times 12 + 2 \frac{1}{4} = 2174 \frac{1}{4} & & \begin{array}{r} 0.20946230916 \\ 1.25677385496 \\ 7.54064312976 \end{array} \\ 217425000.754064 \end{array}

\begin{matrix} \begin{array}{r} 7540643) 21775186 (288∟77093 \\ 15081286 \\ 6693900 \\ 60325144 \\ 6613856 \\ 6032514 \\ 581332 \\ 527845 \\ 53487 \\ 7025 \\ 6786 \\ 239 \\ 226 \end{array} & \begin{array}{r} 229 \frac{1}{2} . 1 . \\ 2295) 19695539 (8581∟934 \\ 18360 17∟164 \\ 1335539 \\ 11475 984 \\ 188039 \\ 18360 \\ 4439 \\ 2144 \\ 20655 \\ 785 \\ 6885 \\ 965 \\ 503 ad 504 . \end{array} \begin{array}{r} (503∟3 \\ 158486372 (15880∟186666 \\ 31∟5494 \frac{2}{3}) 15774∟743333 \\ 105∟443333 \\ 946484 \\ 10,7949 \end{array} \begin{array}{r} 30162572 \\ 22621929 \\ 2262193 \\ 301626 \\ 45244 \\ 4525 \\ 603 \\ 38 \\ 326861878 \end{array} \\ \begin{matrix} ut 125 \frac{23}{60} ad 125 \frac{53}{60} \\ 125 \frac{2}{5} ad 125 \frac{9}{10} . \\ 126 \frac{2}{15} \times 125 \frac{9}{10} \times 100 & ad 125 \frac{2}{15} \times 125 \frac{2}{5} \times 101 \end{matrix} & 101 ad 100 et 503 ad 504 id est ut 50803 ad 50400 seu 505 ad 505 \\ \begin{array}{r} 126,133333 \\ 31.53,3333 \\ 11352 \\ 15880∟18666 \\ 15848,6372 \\ 3∟1549466 \end{array} \begin{array}{r} 125,133333 \\ 31283333 \\ 500533 \\ 156917200 \\ 1569172 \\ 15848∟6372 \end{array} \begin{array}{r} \times 125∟4 \times 101 \end{array} & \begin{array}{r} ut 403 ad \\ 57285∟5 \\ 5729578 \\ 28647890 \\ 40107046 \\ 1145710 \\ 11459156 \\ 45836624 \\ 2864789 \\ 286479 \\ 32822174052 \\ 196933044312 \\ 22345354 \\ 55389666 \end{array} \begin{array}{r} 50803 \\ 5729578 \\ 65 \\ 34377468 \\ 2864789 \\ 37242257 \\ 223453542 \end{array} \begin{array}{r} ut 9 ad 289 & \begin{array}{r} 109) 3433 (31∟5 \\ 163 \\ 540 \end{array} \\ \begin{array}{r} 3933.17 \frac{1}{6} ∷ 228 \frac{1}{2} \\ 39391 1599 \\ 2285 \\ 38 \\ 3814 \\ 3922 \end{array} \begin{array}{r} 2285 \\ 159955 \\ 381 \\ 3922∟6 \end{array} & \begin{array}{r} 1095.17 \frac{1}{6} ∷ 2000 \\ 343333 (31∟4 \\ 3285 \\ 1483 \\ 438 \\ 438 \end{array} \end{array} \\ \begin{array}{r} 403 ad 50400 (12506 \\ 101 50024 \\ 2040 \\ 2015 \\ 250 \end{array} & \begin{array}{r} 432 \\ 8 \frac{4}{9} \\ 440 \frac{4}{9} \\ 3083 \frac{1}{9} \\ 26426 \frac{2}{3} \\ 264266 \frac{2}{3} \\ 2202222 \frac{2}{9} \\ 2280000) 2495998 \frac{2}{3} (1∟09035 \\ 2159 4736 \\ 2052 1∟094736 \\ 10798 \\ 684 \\ 114 \end{array} \end{matrix}

130 The Commercium Epistolicum Epistolæ et MSSti antiquæ veteres et Epistolæ in Commercio Epistolico impressio variojs quæstionibus ansam præbēent, quales sunt quæ sequuntur. 1 Quis fuerit primus seriei author seriei pro area Hyperbolæ quæ D. N. Mercatori an A a D. Leibnitio passim tribuitur 2 Quis An D. N. Mercator primus fuerit inventor seriei infinitæ per divitionem perpetuam. 3 An trecte fecerit Leibnitius quei 3 An recte fecerit Leibnitius qui totis veiribus ejusm generalem reductionem fractionum in series infinitas & quadraturam figurarum per has series Newtono denegat. 4 An recte D. Leibnitius se coinventorem esse voluit methodi differentialis Mentem 5 Quis fuerit primus inventor seriei pro arcu circuli ex data Tangente. 6. An D. Leibnitius fuerit hujus seriei coinventor 7. An D. Leibnitius seriem aliquam invenerat pro area circuli anni 1674. 7. Quaan seriem D. Leibnitus invenerat pro habuerit anno 1674 pro area circuli. 8. Vtrum seriem illam D. Leibnitius invenerat vel aliunde acceperat. 9. Vtrum An D. Leibnitius Propositionem invenit quod corpus in Ellipsi revolvens & areas tempori proportionales circum focum interiorem describens, attrahatur in centrūum vi aliqua quæ sit reciproce ut quadratum distantiæ a centro. 10. An D. Leibnitius invenit Propositiones suas de motu corporum in Medijs resistentibus anno 1689 editas 10. Vnde factum est quod. D. Leibnitius cum Newtoni Principia mathematica anno 1686 ad societatem Regiam millerentur, anno 1687 ederentur & anno 1688 describerentur in Actis Lei Eruditorum: D. Leibnitius Anno 1689 præcipuas Newtoni Propositiones, alio o sub titulis Epistola de Lineis Opticis, schediasmatis de resistenti a Medij et motu Projectiium gravium in Medio resistente & Tentaminis de motuum cœlissium causis. 11. An D. Leibnitius invenit Propositiones de s refraction suas Opticas, anno 1689 editas. 1211. Quænam sit Analysis Vnivversalis Newtoni 12. Quando fuit hæc Analysis inventa 13. Quænam fuerit Analysis Vniversalis Methodus differentialis L. et quando fuerit inventa. 14. Quomodo differunt hæ duæ Methodi ab invicem. 15. Quibus argumentis Harum vero Quæstionum Resolutiones ex ijsdem MSS & epistustolis sic deducuntur. 1 Edita est in Transactionibus Philosophicis Mensis Maij Aprilis 1668 Quadratura Hyperbolæ a dc. Brunkero inventa per hanc seriem

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{7 \times 8} + &c

id est per hanc

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8}

&c, conjunctis scilicet binis terminis. Mercator anno mox eandem aliter demosnstravit. su 2. D. Wallisius in opere Arithmetico Anno 1657 edito cap. 33 § 68 fractionem algebraicam

\frac{a}{1 - r}

uti

\frac{a}{1 - r}

per divisionem perpetuam reducerit in seriem

a + a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} &c

& Mercator per hanc ipsam divisionem quadravit Hyperbolam. 3 Newtonus Mercator se methodicm generalem quadrandi curvas per divisionem invenisse nunquam professus est. Newtonus per impolationem serierum Wallisis invenit methodum Regulam generalem reducendi dignitates binomiorum in series infinitas que et per hanc Regulam quadravit cCurvas omnes quæ per Divisiones quadrari possunt. Mercator Greg G et postea Divisionibus ut notio & extractionib ut notioribus, non ut necessarijs, usus est. Gregorius quadraturam Curvarum per Divisiones licet litteris Collinij admonitus, vix tandem invenit. 131 4. Laudem mercatur qui aliorum inventa novis methodis invenire possunt & inventores sunt novarum methodorum, sed inventoris primi jura per inventores recentiores imminui non debent. Commerc. p. 56 65 Gre Iacobus Gregorius in Epistola ad Collinium missa in seriem

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}

data 15 Feb 17671 data data, pro inveniendo arcu a cujus tangens t datur seriem dedit pro posuit

a = t - \frac{t^{3}}{3 r^{2}} + \frac{t^{5}}{5 r^{4}} - \frac{t^{7}}{7 r^{6}} + \frac{t^{9}}{9 r^{8}}

&c posit radio circuli existente r. Hanc seriem cum alijs nonnullis Oldenburgus in Epistola Litt ad D. Collinium D. Leibnitium Epistola anno 1675, 15 Apr. datisa, ad D. Leibnitium misit, & D. Leibnitius in Epistola 20 Maij proxime sequentis rescripsit se Literas Oldenburgi multa fruge refertas Algebraica refertas accepisse, sed propter Mechanica negotia non potuisse examinare series quas acceperat ac cum suis comparare. Deinde cum Gregorius sub finem anni 1675 emortuus esset: Collinius ex Epistolis Gregorij excerpsit quæ quæ quæ utiliora viderentur excerpsit et cum D. Oldenburgo communicavit sub hoc titulo: Extracts from Mr Gregories Letters to be sent Mr Leibnitz to peruse who is desired to return yethe same to you. And at yethe bottom of h sub finem autem epistolæ suæ 11 Aug. 1676 ad Fratrem emortui Collinius scripsit se Extracta illæa Lutetiam Parisionēem missa cupaisse. Et D. Tschurnhausius in Epistolæ ad Oldenburgum Parisijs 1 Sept ejusdem 1676 data, ad hæc Extracta a se visa alludens hæc habet: similia porro quæ in hæc re præstitit eximius ille Geometra Gregorius memoranda certe sunt, et quide optimæ famæ illpsius consulturi, qui ipsius relicta Manuscripta luci publicæ ut exponantur operam nababunt. Extant Extracta illa manu Collinij de de descrip scripta et in ijsdem habetur habetur epistola tota prædicta Gregorij 15 Feb. 1671 data. Hæc omnia D. Leibnitius in Actis Leipsicis agnoscere debuisset. 6. D. Leibnitius invenit transmutationem quandam figurarum cujus ope seriem prædictam inveni per divisiones Wallisianas invenire potuisset. Sed Gregorius hanc seriem prius invenerat, et coinventor recentior non est admittendus. 7. D. Leibnitius in Epistola 15 Iulij da 1674 ad Oldenburgum data scripsit se Theorema habere cujus ope Area circuli vel sectoris ejus dati exacte eprimi potest per seriem quandam Numerorum rationalium continue productam in infinitum. Dein in Epistola 26 Octob. 1674 ad Oldenburgum data, hæc fusius repetit, dicendo se invenisse seriem numerorum valde simplicum cujus summa exacte æquatur circumferentiæ circuli positao Diametrum esse unitatem. Et qd eadem methodo [id est eodem Theoremate] etiam Arcus cujuslibet cujus sinus datur Geometrice exhiberi per ejusmodi seriem valor potest, nullo ad integræ circumferentiæ dimensionem recursu. Vt adeo necesse non sit, arcus rationem ad circumferentiam nosse. Quod hic methodums vocatrs, priore Epistola Theorema dicitur. Theorema habet vel meth Methodum habet id est Theorema cujus ope vel Area vel circul totius vel sectoris ejus dati ex sinu dato exprimi potest per seriem Numerorum rationalium, licet arcus ratio ad circumferentiam nosc minime noscatur. Si arcus ratio ad circumferentiam noscatur habetur per hoc Theorema circumferentia tota, si ratio illa non noscatur, habetur saltem arcus vel sector in ejusmodi serie. Theorema autem quo arcus quilibet cujus sinus in nu datur, in serie numerorum rationalium haberi potest, ejusmodi est. Sit radius = 1 & sinus = x, et arcus erit

x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \frac{5}{112} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9} + &c

. Et 8. Hoc seriem Theorema Newtonus cum Collinio, Collinius cum Gregorio amicis communicaverat anno 1669 & Collinius cum Collinio & Collinius cum Gregorio, Oldenbur & amicis deinceps communicabat. L & Leibnitius demonstrationem ejus postea quærebat ab Oldenburgo et Collinio Leibnitius Londini versabatur annois 1661, 1662, & 1663 usque ad mensem Martium, deinde Lutetiam Parisiorum migrabitat. Seriem autem nondum demonstrare potuit anno 1675 ab Oldenburr Theorema autem anno 1675 ab Oldenburgo acceptam accepit, et suum sibi esse non asseruit et sibi minime vindicabat, dein anno 1676 a accepit idem a Mohro quodam & Demonstrationem ejus ab Oldenburgo et Collinio mox postulat pertlia Epistolam 12 Maij 1676 datam postulabat ab Oldenburgo et Collinio, ideoque anno 1674 aliunde aliunde acceperat, & jactaba ab hoc Theoremate deduxerat series numerales quas se invensseinvenisse jactabat. 9 In tutamine de motuum cœlestium causis, D. Leibnitius habet Propositiones. 1 Omnia cor 9 Tentamen de motuum cœlestium causis in hisce Propositionibus funda 1 Omnia corpore quæ in fluido lineam curvam describunt, ab ipsius fluidi motu agi 2 Et propterea planetas moveri a suo æthere. A Quasi projectilia ab aeris motu agerentur, & Planeta in axe Vorticis nullam haberet gravitatem. 10 Conatum centrifugum metiri licebit perpendiculari ex puncto sequenti in tangentem puncti præcedentis inassignabiliter distantis. Vera est 11 Conatus centrifugus exprimi potest per sinum versum anguli circulationis. Hæc Propositio cum priore non concordat nisi circulo: proponitur tamen de motu in qualibet curva. 12 Conatus centrifugi nobilis harmonice circulantis sunt in ratione radiorum reciproca triplicata Hæc Propositio vera non est a prior deducitur et vera non est præterquam in in circulo 9. Dicunt aliqui falsas esse Tentaminis Propositiones 12 11, 12 et 15 et D. Leibnitium ab his per calculum suum deduxisse Propositiones 19 et 20 ejusdem Tentaminis: talem autem calculum ad Propositiones prius inventas aptari quidem potuisse, non autem inventorem constituere 10. Cum Newtoni lib Principia Mathematica anno 1687 prodiret 10. Primus D. Leibmitius Epistola tota de lineis Opticis, & totum Schediasma de resistentia Medij 10. Cum Newtonis Principaia Mathematica anno 1686 ad societatem Regiāam milleret,rentur, anno & anno 1687 ederentur & Erpatme huj libri anno 1688 in Actis Eruditorum describerentur prodicet, & D. Leibnitius hac lectua compon pæcipu anno 1689 in lucem emitteret Epistolam de Lineis Opticis, Schediasma de resistentia Medij et Tentamen de motuum cœlestium causis in Epitomen redigerentur, & D. Leibnitius his lectis, componeret Epistolam de Lineis Opticis, Schediasma de resistentia Medij & motu projectilium gravium in Medio resistente, & Tentamen de motuum cœlestium causis componeret et in Actis Lipsicis anno 1689 imprimi curaret quasi ipse quoque præcipuas Newtoni de his rebus Propositiones invenisset idque diversa methodo qua vias novas Geometricas aperuisset; et librum Newtoni tamen nondum vidisset: quis fuerit harum Propositionum inventor primus censendus? SrSir Meeting in the Acta Erid Eruditorum of Feb. 1712 wthwith an account of the Analysis per Quantitatum series fluxiones ac differentias In Actis Eruditorum Descriptio generalis methodi fluxionum Fermatius astud Schootonus in Notis ad Geometriam Cartesij pro determin Methodum Fermatij de maximis & minimis ra exemplo uno altero exposuit & quomodo tangentis perpendicula ad curros per hanc methodum ducendūa sunt. sint In hac methodo Fermatius pro quantitate indefinite parva utitur symbolo O. Idem Fecit Gregorius in methodo ducendi tangentes. Barrovius in methodo sua Tangentium, duas adhibuit quantitates indefinite parvas, nempe particulam Abscissæ et particulam Ordinatæ, quas vocat a et e Newtonus adhibuit plur cujuscunque genera methodum ampliavit & ad omnia problematum genera applicuit, idque spectando quascunque et quotcunque indeterminatas quantitates ut fluentes, pronendo symbola quæcunque pro fluentibus alia quæcunque pro earum fluxionibus, & unitatem pro fluxione temporis, symbolum o pro momento vel temporis vel quantitatis cujusvis quo tempus exponitur, & symbola fluxionum in momentum o ductarum pro momentis quantitatum fluentium seu particulis simul genitis momento temporis genitis. 132 In Epistola quo quam Newtonus 13 Iunij 1676 ad Oldenburgum a, Oldenburgus 26 Iunij ad Leibnitium misit, Newtonus methodum. serierum infinitarum descripsit, & addidit Analysin harūum serierum beneficio ad omnia pene problemata (si numerali quædam Diophantæis similia excipiantur) sese extendere præsertim per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas & reducendi series infinitas in æquationes finitas ubi rei natura tulerit. Leibnitius in Literis 27 Aug. 1676 respondit Id sibi non videri; esse enim multa usque multis alijs) Problemata methodi Tangentium inversæ. Deinde in Epistola Cum Newtonus iIn Epistola ad Oldenburgum 24 Octob. 1676 ad Oldenburgum data, [& mox ab Oldenburgo eo missa ad D Leibnitium missa etDa Wallisio tandem in tertio operum volumine edita, Nuetonus se proxime ante pestem ingruentem [quæ contigit annis 1665 & 1666] in methodum suam serierum infinitarum incidisse scripsit, & postquam quo tempore Mercatoris Logarithmotechnia prodijsset se mox communicatum fuisse per amicum D. Barrow (tunc Matheseos Professore apud CatabCantab) cum D. Collinio compendium quoddam harum serierum, et circa annum 1671 hortante Collinio se tractatum de his seriebus composuisse conscripsisse d deque moethduos ducendi Tangentes methodo flusij consimilam, sed quæ quantitates surdas minime moraretur, & consimili calculo tractam et qu alia & peragendi determinanti maxima & minima quadrandi curvas et alia peragendi, cujus fundamentum quæ quæ methodus methodus in hac sententia fundaretur [Data æquatione fluentes quotcunque æquationes involventes fluxiones invenire et vice versa.] et cum Tractatum de Quadratura Curvarum & cum hæc methodus attingeretur in Compendio prædicto, et Newtonus præterea in Introductione ad Tractatum de Quadratura Curvarum scripsisset se In Compendio prædicto methodus illa quæ methodus fluxionum jam dici solet brevitur attingitur. Et Newtonus in Introductione ad Tractatum de Quadratura Curvarum addidit se methodum illam annis 1665 & 1666 paulatim invenisse. Deinde in Epistola 24 Octob. 1676 ad Oldenburgum data Newtonus respondit Inversa de Tangentibus Problemata esse in potestate, aliaque illis difficiliora: ad quæ solvenda usus esset duplici Methodo, una concinniori, altera generaliori: & Vnam consistere in Extractione fluentis quantitatis quantitatis ex æquatione simul involvente fluxionem ejus; alteram tantum in assumptione seriei pro quantitate qualibet incognita ex quæa cætera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum æquationis resultantis ad eruendos terminos assumptæ seriei. Pr Methodum priorem a Newtono acceptam Wallisius postea in secundo operum volumine anno 1693 edidit; pro alteram D. Leibnitius tandem assecutus est & in Actis Eruditorum exposuit anno 1689, pag 37 & anno pag . Porro Newtonus in eadem Epistola 24 Octob. data 1676 data scripsit se proxime ante pestem ingruentem [quæ contigit annis 1665 & 1666] in methodum suam serierum infinitarum incidisse, et quo tempore Mercatoris Logarithmotechnia prodijsset, communicatum fuisse per D. Barrow (tunc Matheseos Professore Cantab) cum D. Collinio Compendium quoddam harum serierūum et circa annum 1671 hortante Collinio se tractatum de his seriebus conscripsisse deque methodo alia quæ in hac sententia fundaretur. Data æquatione. fluentes quotcunque fluentes quantitates involvente inven fluxiones invenire & vice versa: & hujus methodi beneficio Tangentes d ex hac Methodo met hanc methodum facillime dare methodum flusij ducendi Tangentes, determinare maxima et minima, quantitates surdas non morari, quadraturas Curvarūum reddere fa faciliores, & alia enodare. Et cum specimen hujus methodi dedit in serie quadam infinita pro quadrandis figuris curvilineis, quæ series quandoque abrumpitur & quadraturam exhibet in æquatione finita. Dixerat enim in Epistola superiore (13 Iun. 1676) methodum suam ad omnia pene Problemata sese extendere per ulteriores quasdam methodos eliciendi series infinitas & easdem has series reducendi in æquationes finitas ubi rei natura tulerit et in hujus rei exemplum seriem prædictam jam protulit. Ex his constat Newtonum per ea tempora methodum methodum Anlalyticam rale generalem habuisse resolvendi problemata habusisse ex methodo serierūum & methodo fluxionum compositam, quæ si res in finitis æquationibus non succederet, hæ in æquationes infinitas reducerentur, si æquationes finitæ non prodir ex conditionibus Problematis non prodirent, quærerentur infinitæ per methodum fluxionum, si æquationes a fluxionibus libera non prodirent quærerentur æquationes seu finitæ seu infinitæ quæ fluxiones involverent, et ex his si opus esset extraherentur fluentes latera fluentia æquationes autem inventæ seu finitæ seu infinitæ ad solutionem problematum per methodum fluxionum applicarentur, & æquationes infinitæ in finitas nonnunquam redirent. And hanc methodum Newtonus respexit ain Epistola ad Collinium 10 Decem. 1672 d data, ubi dinit methodum tangentium Slusianæ similem descripsit et addit: Hoc est unum particulare vel Corollarium potius methodi generalis quæ extendit se citra molestum ullum calculum non modo ad ad ducendum Tangentes ad quasvis Curvas sive Geometricas sive Mechanicas vel quomodocunque rectas lineas aliasve Curvas respicientes, verum etiam ad resolvendum alia abstrusiora Problematam genera de Curvitatibus Areis Longitudinibus, Centris gravitatis Curvarum &c Neque quemadmotum Huddenij methodus de maximis et minimis) ad solas restringitur æquationes illas quæ quantitatibus surdis sunt immunes. Hanc methodum intertexui alteri isti qua æquationum exegesin instituo reducendo eas ad ad series infinitas. His ultimis verbis alluditur ad Tractatum quem Tractatum supradictum quem anno 1671 composerat. anno 1671 de methodais serierum & fluxionum se anno 1671 composueras dixeratur composuerat. De methodo utraque duam inter se conjunctis compositum fuit etiam compendium prædictum quod D Broarrovius anno 1669 cum cCollinio communicavit. Nuper eEditum fuit hoc compendium in Commerc. Epist. ex MS antiquo Collinjij manu exaratao & inter in scrinijs ejus a Ionnsio reperto, una cum excerptis ex literis tribus Barrovij ad Collinium de hoc Compendio 20 Iulij 31 Iulij & 20 Aug. 1669 datis. ext a Concsessu Arb et et ex Editum est etiam in Commertio Epistolico cum exceptis ex literis alijs hadud paucis Collinij Oldenburgi Gregorij ad hoc Compendium spectantibus et ad Slusium, Gregorium, Bertetum, Borellum, Vernonem Strodum, missis, quorum vel autographa vel exemplaria in libro Epistolarum Societatis Regiæ quo conservantur Epistolæ descripta, vel manu Collinij exarata & a Concsessu Arbitrorum Regiæ Societatis examinata fuerunt, et adhuc asservantur. Et in hoc Compendio methodus flu fluxionum sic describetur paucis attingitur Sit ABD Curva quævis, et AHKB rectangulum cujus latus AH vel BK est unitas. Et cogita rectam DBK uniformiter ab AH motam areas ABD & AK describere, et quod BK(1) sit momentum quo AK(x) & BD(y) momentūum quo ABD gradatim augetur et quod ex momento BD perpetim dato possis per prædictas Regulas, aream ABD ipso descriptam investigare, sive cum AK momento (x) momento 1 descripta conferre. Iam qua ratione superficies ABD ex momento suo perpetim dato per præcedentes Regulas elicitur, eadem quælibet alia quantitas ex momento suo sic dato elicietur. Deinde expemplum proponitur inveniendi longitudinem arcus ex sinu vel recto vel verso in circulo cujus diameter est ponendo x pro sinu illo & 1 pro momento sinus, & inde inveniendo momentum arcus

o o \frac{1}{2 x \sqrt{x - x x}}

æquale

\frac{1}{2 \sqrt{x - x x}}

, et ex hoc momento deducit longitudinem arcus. Deinde addeit: Sed notandum est quod unitas illa ista quæ pro momento ponitur & superficies cum de solidis et linea cum de superficiebus et punctum cum de lineis agitur. Nec vereor loqui de unitate in punctis sive lineis infinite parvis siquidem proportiones ibi jam contemplantur Geometræ dum utuntur methodis indivisibiliam: P Newtonus igitur punctum hic considerat ut particulam lineæ momento temporis descriptam & inde momentum vocat lineé, lineam considerat ut momentum particulam superficiei momento temporis genitam et inde momentum vocat superficiei, et superficiem considerat ut particulam solidi momento temporis genitam et inde momentum vocat solidi. Vbi vero unitas pro momento ponitur subintelligenda est unitas quantitas fi coefficiens coeffinfinite parva o. Concinnioris enim operationis gratia sæpe subintilligitur: at ubi aliquid demonstrandum venit, exprimitur, ut fit in demonstratione Regulæ primæ sub finem Compendij. 133 Regula illa erat hujusmodi, si Curvæ alicujus Abscissa AB vocetur x & Ordinata rectangula BD sit y, & a sit quantitas quælibet data et m et n sint numeri, sitque

a x^{\frac{m}{n}} = y

æquatio naturam curvæ definiens: erit

\frac{m}{m + n} x \frac{m + n}{n}

æqualis Areæa hujus curvæ erit

\frac{m}{m + n} a m \frac{m + n}{n}

. Demonstratur vero in hunc modum. Sit area illa = z utque o iIn abscissa producta sumatur longitudo aliqu parva BB. e e =o. erigatur Ordinata Bδ Producatur abscissa Ordinata BD ad K Dicatur , et compleatur parv rectangulum BKHβ areé BDδβ æquale, & si BK dicatur υ erit area rectangulum illud erit =oυ. Etiam Erit etiam abscissa

AB = x + o

et βδ=y+ area

ABδ = z + o υ

. Si jam vice æquation Regulæ generalis assumatur ejus casus aliquis ut quod sit

\frac{2}{3} x \frac{3}{2} = z

, sive

\frac{4}{9} x^{3} = z z + 3 x x o + 3 x o^{2} + o^{3} =

(ex natura cCurvae)

z^{2} + 2 z o υ + o^{2} υ^{2}

. Et sublatus

\frac{2}{3}

æqualibus

\frac{4}{9} x^{3}

z z

, reliquisque per o divisis restabit

\frac{4}{9}

3 x^{2} + 3 x o + o^{2} = 2 z υ + o υ^{2}

. Si jam supponamus Bβ in infinitum diminui et evanescere sive o esse nihil, erunt o et y æquales & termini per o multiplicati evanescent, & restabit

\frac{4}{9} \times 3 x x = 2 z υ

, sive

\frac{2}{3} x x (= z y) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} y

, id est

x^{\frac{1}{2}} = y

. Quare e contra si sit

x^{\frac{1}{2}} = y

erit

\frac{2}{3} x \frac{3}{2} = z

. Q.E.D. Et in hac operatione notandum est quod in hac operatione quantitas Bβ seu o spectatur ut finita donec operata calculus ad finem perducatur, deinde evanescit et evadit n pro nulla habetur. Id enim v Vt infinite parva nunquam spectatur. Verba enim Colligitur id ex verbis Si jam supponamus Bβ in infinitum diminui, et evanescere sive o esse nihil. arguunt demonstrant ipsam o aut finitam ae aut esse nullam donec in infinitum dmur Et evanescet Quare Symbolum o quantitatum infinite parvam h non significat quantitatum parvam si placet vel si placet per non infinite parva hic significat Quantites o et oo jam. jam nascent nascentes spectari sunt ipsarum x et z momenta Sed hic spectantur ut finitæ donec opa op computatio. finiatur Pro momentes habentur a Neto ubi aliquid investigandum est pro quantitatbus parvam sed non finitis ubi aliquid demonstrandum. Si jam demonstranda proponatur Regula generalis

\frac{n}{m + n} a x^{\frac{m + n}{n}} = z

, sive ponendo

\frac{n a}{m + n} = l

m + n = p

, sit

c x^{\frac{p}{n}} = z

, vel

c^{n} x^{p} = z^{n}

; substituatur x+o pro x & z+oυ pro vel (quod perinde est) z+oy pro z, & prodibit cn in

x^{p} + p o x^{p - 1}, &c = z^{n} + n o y z^{n - 1}

, &c: reliquis nempe terminis qui tandem evanescerent, omissis. Iam sublatis cnxp æqualibus

c^{n} x^{p}

z^{n}

, reliquisque terminis per o divisis, restatbit

c^{n} p x^{p - 1} = n y z^{n - 1}

ac dividendo insuper per cnxp evadet

p x^{−1} = \frac{n y}{p} (= \frac{n y z^{n}}{z}) = n y c n x p

ac dividendo per

c^{n} x^{p} = z^{n}

prodibit

p x^{−1} = \frac{n y}{2}

, sive

c x^{\frac{p}{n}}

p x^{−1}

c p x^{\frac{p - n}{n}} (= c x^{\frac{p}{n}} \times p x^{−1} = z p x^{−1}) = n y

. Et restituendo

\frac{n a}{m + n}

pro c et m+n pro p, hoc est m pro p−n et na pro pc, fiet

a x^{\frac{m}{n}} = y

. Quare e contra si sit

a x^{\frac{m}{n}} = y

, erit

\frac{n}{m + n} a x^{\frac{m + n}{n}} = z

. Q.E.D. Now in this Computation these things are to be observed Iam vero in hac computo demonstratione notanda veniunt quæ sequuntur. That that the series xa+xo whose two first terms are here set down & the rest neglected as useless Quod series illa cujus termini duo primi hic ponuntur cæterique negli negliguntur ut inutiles, vizt

{x + o}^{p} = x^{p} + p o x^{p - 1} + &c

Vel

{z + o υ}^{n} = z^{n} + n o z^{n - 1} + &c

, is the same series wthwith that set down in the beginning of eadem sit cum serie quæ describitur & exemplis illustratur in principiao epistolæ Newtoni 19 Iunij ad Oldenburgum 13 Iunij 1676 dati, describitur & exemplis illustratur 2 Quod in rRegula demonstratur per secundum terminum hujus seriei termino primo evanescente rejecto, et reliquis quæ secundum sequuntur neglectis et evanescenbitus evanescentibus et hoc perinde est ac si diceretur quod posito quantita flu momentum quantitate x qualibet fluente Et fluendo omtebi nomio x+o incrementum primum dignitatis ejus xp sit ad incrementum synchronum. lateris x, ut

p o x^{x - 1}

ad o, seu

p x^{p - 1}

ad 1, id est quod seu id est quod fluxio momentum dignitatis xp sit ad fluxionem momentum lateris ut pxp−1 ad t Fundavit igitur Newtonus methodum momentorum in se hujusmodi seriebus spectando secundum terminum jam btus binomij nascentem ut momentum primi & secundum seriei terminum ut momentum primi] quantitate quavis x fluente et fluendo evadente x+o, ejus dignitas xp simul evadet

x^{p} + p o x^{p - 1} + &c

, et [ratio prima incrementi lateris ad incrementum dignitatis seu id est ratio momenti lateris ad momentum dignitatis erit] lateris incrementum erit ad dignitatis incrementum

p o x^{p - 1} + &c

ut 1 ad

p x^{p - 1} + &c

3 In hac Demonstratione primo proponitur æquatio

\frac{n}{m + n} a x^{\frac{m + n}{n}} = z

fluentes areas x×1 et z involventes & inde deducitur æquatio

a x^{\frac{m}{n}} = y

Ordinatas fluxionibus proportionales 1 et y involvens. Deinde ex hac æquatione regreditur vicissim concludi regred data concluditur vere regreditur ad æquationem priorem. Et hic est primus gradus æq methodi fluxionum quam Newtonus exposu designavit hac sententia: Data æquatione quantitates quotcunque fluentes involvente fluxiones invenire et vice versa. 4. Huic Demonstrationi Newtonus statim addidit subjunxit addit sequentia: Huic in transitu motetur modus quo Curvæ quotcunque quarum areæ sunt cognitæ possunt inveniri; sumendo nempe quamlibet æquationem pro relatione inter aream z & abscissam x ut inde quæratur Ordinata y. Ut si supponas

\sqrt{a a + x x} = z

, ex calculo invenies

\frac{x}{\sqrt{a a + x}} = y

. et sic in reliquis. Et hoc perinde est ac si Newttonus dixisset quenquam per methedum calculi in Demonstratione præcedente adhibiti posse ex Æquatione qualibet ad arbitrium assu fluentes duas quantitates involvente fluxiones invenire. Et simile est argumentum de fluxionibus emendis ex æquatione quotcunque fluentes quantitatis involvente. emendis Newtono deducendis. Namque hoc Newtono per ea tempora innotuisse patet ex ejus Epistola ad Collinium data ann 10 Demcem 1672 ubi dicit methodum suam quantitates radicales non morari; ut ex ejus Epistola secunduo 24 Octob 1676 ad Oldenburgum data ubi dicit se ante quinquennium (id est ann sc. annūum 1671) ractatum composuisse de seriebus infinitis composuisse deque methodo quæ in hoc Problemate fundaretur: Data æquatione quotcunque quanti fluentes quantitates involvente fluxione invenire, & vice versa. Elementa hujus methodi in Compendiæ prædicto, ut videtur, Habuit igitur Newtonus per ea tempora methodum serierum & fluxionum de quam cujus Elementa strinxerat in cCompendio perdictæ & quam fusius exposuerat in Tractatu illo quem anno 1671 composuit Quantitates ejuscunque generis considerabat ut fluentes motu continuo crescentes augescentes vel fluentes et earum particulas singulis temporis momentis genitas considerabat vel augmenta momemtaneamomentanea nominabat earum momenta nomine ex a momentis temporis desumpto, et velocitates crescendi vel fluendi nominabat earum fluxiones. Hæ fluxiones sunqt quantitates finitæ; momenta sunt infinite parvæ. Quantitates fluentes designabat per symbola quæcunque, earum fluxiones per alia quæcunque symbola, fluxionem temporis per unitatem, momentum temporis per literam O ut et m momenta aliarum quantitatum per earum fluxiones in momentum temporis ductas, et fluxiones quantitatum uniformiter fluentium vel per unitates vel per alias quascunque datas. In qua Propositionibus investigandis 134 — Newtonum circa Annum (ut ipse t Wallisius ait ait et ex MSS antiquis colligitur 1665 vel 1666, in methodum illam peregregiam Fluxionum incidisse, cujusque specimina quædam dedit in Analysi sua per æquationes numero terminorum infinitas quam Barrovius aAnno 1669 ad Collinsium misit ut et in Epistocla 10 Decem 1672 ad Collinsium missa. Circa initium quidem Anni 1670 D. Iohannes Collinsius literis ad Clarissimum virum D. Iacobum Gregorium conscriptis significavit D. Isaacum Newtonum methodi Quadraturarum generalis compotem esse, uti testatus est D. David. Gregorius in Exercitatione sua Geometrica Anno 1684 publicata. pag. tertia, et inter cæteros quidem Anno 1676 eandem in Epistola quadam ad celeberrimum Virum Leibnitium literis quidem transpositis ad hunc modum celata misit misit & ejus beneficio Analysin ad omnia. fere Problemata sese extendere. significavit eandem per aliams quandam methodumos reddi genera in Analysin generale eandem orēem reddi. Eodem porro anno scil 1676 – – – – – – – – – subministraverit fusius patebit. Problema tamen in quo fundabatur hæcce methodus literis quidem transpositis ad hunc modum celabat (6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx) quæque ordinatæ hanc conficiunt sententiam, Data æquatione Fluentes quotcunque quantitates involvente invenire Fluxiones; et vice versa. Mente Newtoni ex Epistolis s Methodos etiam – – – – – – – – – nequeant. Methodos denique – – – – – – – subministraverit Mente Newtoni ex Epistolis ejus percepta, Vir celeberrimus D. Leibnitius anno proximo rescripsit se in parilem Methodum incidisse (ut ex ejus Epistola in tertio volumine Operum Wallisij videre licet.) cujus tamen explicationem (in cæteris suis inventis explicandis publicandis non raro nimis præproperus uti in Actis Erud. plus semel conspici queat) ad Annum usque 1684, distulerit Tandem vero Newtonus Anno 16 1704 tractatulum quem 1676 præ paratum habuit circa annum 1676 ex Tractatu antiquiore descripsit quo et quo plurimum usus est. redivivum publici juris fecerit; quemque circiter Annum 1691, vir clarissimus Halleius et Ego Cantabrigiæ – – – – – – – – distulerit. Tandem vero Newtonus Anno 1704 Tractatulum quem circa annum 1676 ex Tractatu antiquiore descripsit serat, redivivum publici juris fecerit; quemque circiter Annum 1691 Vir clariss Halleius et Ego Cantabrigiæ in manibus ut præbo habuissemus, tum quidem prælo paratum & perlegendo (ab ijs quibus eundem mutuo dederat) multo obtritum, quemque postea revisendum repostulaverit, et ad Annum usque prædictum ejusdem publicationem distulerit. + p. 96 l. 11 lege quantitatis. eIb. l. 12. lege Fluxiones. Ib l 16 lege habuere. In Historia fluxionum p. 92 l 22 pro Mense Octobris 167 lege Anno. pag. 93 l. 27 lege quam Gregorius. p. 94 l 30 lege D. Collins initio. p. 95 l. 1 lege perplura. l 10 pro Societatis Regiæ lege Consessus Arbitrorum delectorum a Societate Regia. l. 41 lege 10 Decem. 1672. + Cætera cum Author mortuus sit & Liber tribus abhinc omnis impressus fuerit, emendet Lector Hoc artificio deducebat Problemata ad æquationes fluxionales, & vicissim ex hujusmodi æquationibus (vel per Quaduram Curvilinearum vel per methodum serierum, vel per alias artes) fluentes deducebat. 135 D. Isaacum Newtonum circa Annum (ut Wallisius ait, et ex MSS antiquis colligitur) 1665 vel 1666, in Methodum illam peregregiam Fluxionum incidisse, cujusque specimina quædam dedit in Analysi sua per æquationes numero terminorum infinitas quam Barrovius Anno 1669 ad Collinium misit, ut et in Epistola sua 10 Decem. 1672 ad Collinsium missa. Circa initium quidem Anni 1670 D. Iohannes Collinsius literis ad Cclarissimum Virum D. Iacobum Gregorium conscriptis significavit D. Isaacum Newtonum Methodi Quadraturarum generalis compotem esse, uti testatus est D. Dav. Gregorius in Exercitatione sua Geometrica Anno 1684 publicata pag. tertia, et inter cæteros quidem anno 1676 eandem in Epistola quadam ad Celeberrimum Virum G. G. Leibnitium misit, et ejus beneficio Analysin ad omnia fere Problemata sese extendere significavit, sed absque alijs quibusdam methodis non omnino universalem evadere. Eodem porro anno, scil. 1676 - - - - - - - - fusius patebit. Problema in quo fundabatur hæcce methodus literis quidem transpositis ad hunc modum celabat (6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx) quæque ordinatæ hanc conficiunt sententiam, Data æquatione Fluentes quotcunque quantitates involvente, invenire Fluxiones; et vice versa. Hoc artificio deducebat Problemata ad æquationes fluxionales, & vicissim ex hujusmodi æquationibus ( vel regrediendo vel per Quadraturam Curvilinearum, methodumve serierum aut alias artes) fluentes deducebat. Methodos etiam – – – – – – – – – separari nequeant. Methodos denique – – – – – – – subministraverit. Mente Newtoni ex Epistolis ejus percepta, Vir Celeberrimus D. Leibnitius anno proximo rescripsit se in parilem Methodum incidisse (ut ex ejus Epistola in tertio Volumine Operum Wallisij impressa videre licet) cujus tamen explicationem (in cæteris suis inventis publicandis non raro nimis præproperus, uti in Actis Eruditorum Erud. plus semel conspici queat) ad Annum usque 1684 distulerit. Tandem vero Newtonus anno 1704 Tractatulum quem circa aAnnum 1676 ex Tractatu antiquiore descripserat, redivivum publici juris fecerit; quemque circiter Annum 1691 Vir Clariss. Halleius & Ego Cantabrigiæ in manibus habuissemus, tum quidem prælo paratum, et perlegendo (ab ijs quibus eundem mutuo dederat) obtritum, quemque postea revisendum repostulaverit, et ad annum usque prædictum ejusdem publicationem distulerit. Newtonus ergo... 136 Anno 1699 D. Fatius quo Newtoni MSS codices viderat dixit Newtonum vocavit primum et pluribus annis vetustissimum esse torum hujus Calculi Inventorem ipsa rerum evidentia se coactum esse agnoscere. 2. Anno 1699 D. Fatius, qui eandem Methodum anno 1687 invenerat, & post annos novel vel decem Newtoni codices MSS eviderat, dixit in Tractatu de Investigatione solidi rodundi in quod minima fiat Resistentia; scripsit Newtonum esse primum et pluribus annis vetustissimum hujus calculi Inventorem, ipsa rerūum evidentia. se coactum esse agnoscere. Et Leibnitius hoc minime negavit. Liber Newtoni de Quadratura Figurarum lucem vidit sub finem anno 16704: In anno proxime D Mente in Actis eruditorum Præfatione Newtonus dicebat se methodum fluxionum incidisse paulatim Annis 1665 & 1666 in Methodum Fluxionum qua ibi usus esset in Quadratura Curvarum. Idem Wallisius prius dixerat Anno 1695 in Præfatione ad operum suorum volumen primum. Binis inquit Newtonus Literis Iunij 13 & Octob 24 1676 ad Oldenburgum datis cum Leibnitio cum commumicandis methodum hanc Leibnitio exponit tum ante decem annos nedum plures ab ipso e [i.e. anno 1666 vel antea] ab ipso excogitatum. 2 1. Vbi primum Wallisius audivit Methodum differentialem in Hollandia celebrari Anno scilicet 1695, is in Præfatione ad Operum suorum Volumen primum dixit binis Newtonum binis literis Iulnij 13 & Octob. 24 1676 ad Oldenburgium datis cum Leibnitio tum communicandis methodum hanc Leibnitio exposuitsse, tum ante decem annos nedum plures [i.e. anno 1666 vel antea] ab ipso excogitatam. Quod moneo nequis causetur de hoc calculo nihil Differentiali nihil a nobis dictume sse. Anno proximo Editores Actorum Lipsiensium in synopsi hujus libri partem horum verborum citorunt, & Wallisius etiam ad Leibnitium 1 Decem scripsit 1696 de ijsdem verbis scripsit. Et neque Wallisi Leibnitius neque Editores Actorum per ea tempora re negarunt, neque conquesti sunt quod Wallisius hæc dixerat. 3. Anno 17034 Wallisiu Newtonus Opticam et Librum de Quadratura Figurarum & edidit et in Præfatione dixit se incidisse paulatim Annis 1665 & 1666 in methodum Fluxionum incidisse qua hic usus est in Quadratura Curvarum. Et Wallisio jam mortuo Editores Actorum Newtonum anno proximo in Synopsi horum Librorum Leib scripserunt Leibnitium Inventorem esse Methodi, et pro differentijs igitur Leibnitianis D. Newtonum adhibere semperque [ex quo Methodum novit] adhibuisse Fluxiones, que ijsque tum in suis Principijs Mathematicis, tum in alijs postea deditis eleganter estse usum, quemadmodum & Honoratus Fabrius in sua Synopsi Geometrica motuum progressus Cavallerianæ methodo substituit. Post annos tres Keilius hæc verba reprehendit, & Leibnitius anno 1711 postulabat a Regia societ ut Keilius retractaret quod scripserat. Keilius rescripsit. Leibnitius se excusavit per ætatem ne responderet. Quæ in Actis Eruditorum edita fuerant In Actis Eruditorum circa hanc rem nihil cuiquam detractum esse, sed potius passim suum cuique tributum Ipsum et amicos suos credere Newtonum per se ad similia suis fundamenta pervenisse, sipsum tamen inventoris jura venire, in quibus sibi vindicandis non properaverat sed inventum nonum in annum presserat ut nomen nemo ipsum præcucurrisse quæri possit. His verbis voluit N voluit Newtonum non ipsi præcucurrisse sed esse inventorem secundum cum tamen Wallisius et Fatius Newtonem multis annis vetustiorem inventorem dixisserent, Leibnitio & Menkenio per ea tempora non negantibus, jam Leibnitius jura inventoris sibi vindicat & Newtonum non præcucurrisse sed esse inventorem secundum. Ipse et amici ejus [olim] aliquoties ostenderare libenter ab ipsis credi Newtonum per se ad similia suis fundamenta pervenisse: jam Editores Actorum, scribendo quod Newtonus fluxiones pro differentijs Leibnitianijs fluxiones semper adhibuit ab initio adhibuit quemadmodum Faber pro methodo Cavallerij motuum progressus substituit, suum cuique tribuissant. Anno 1689 mense Ian et Feb Leibnitius ex lib Newtoni Principijs mathematicis chartas tres alijs verbis sine calculo Ana synthetice compositas edidit, & sub finem secundæ addidit Et fortassis vias quasdam attente consideranti vias quasdem novas satis antea impeditas aperuisse videbimur. Omnia autem respondent nostræ Analysi Infinitorum, hoc est alculo summarum ac differentiarum (cujus elementa quædam in his Actis dedimus) communibus quoad licuit verbis hic expresso. This was the first instance published by Mr Leibnitz of solving the higher sort of Problemes. And henceforward the differential Method began to be cultivated Mense Maio anni proximi Ioannes Iacobus Bernoullius Analysin dedit solutiones Problematis inveniendi Curvam æquabilis descensus, & proposuit Problema inveniendi Curvan Catenariam. Et Leibnitius adam. solvit mense Iulio & Iohannes idem solvit mense Decembri ejusdem anni, & solutiones lucem viderunt anno 1691 mense Iunio. Eodem anno Ralphsonus noster Libr & Halleius Librum MS de Quadratura Curvarum manibus suis triverunt, ut Ralphsonus in Historia fluxionum olim testatus est & Halleius adhuc testatur. Anno 1692 Aug. 27 Newtonus Wallisio postulanti misit Propositionem primam ut et Quintam Libri de Quadraturis et eadem anno proximo in secundo Volumine operum ejus lucem viderunt. Eodem anno 1692 mense septembri, Leibnitius scripsit Io. Bernoullium inesse se fratremque incalculo suo multum plurimum profecisse: Quod [Ia. Bernoullius] scripsit inanit se fratremque in calculo meo plurimum profecisse, id agnosco, gratulorque non illis magis quam michi. Valde autem nocse velim an ultra metas illas sint provecti ad quas ego perveni. Anno 1693 I. Bernoullius Marchionem Hospitalium multa docuit. Et Leibnitius ad Newtonum scripsit in hæc verba. Mirifice ampliaveras Geometriam tuis seriebus sed edito Principiorum opere ostendisti patere tibi quæ Analysi receptæ non subsunt. Conatus sum ego quoque Notis commodis adhibitis &c Anno 1695 Wallisi Celebratio Methodi differentialis in Hollandia ad aures Wallisij pervenit: qua occasione monuit moethodum illam Newtono ante annos 29 Newtono innotuisse. Anno 1696 Ber Marchio Hospitalius quæ a librum suum de Meth infinite parvis edidit & subinde Methodiss d tribus scilicet annis postquāam Wallisius Prop methodum Newtoni inveniendi fluxiones primas secundas tertias aliasque ediderat. Add 3968138 seruit D. Tschirnhautius: patet celeberrimum virum D. Isaacum Newtonum (circa annum, ut D. Wallisius in Præfatione ad Opera sua mathematica olim scripsit), 1665 & 1666) in methodum illam peregregiam fluxionum incidisse, cujusque . . . . . . . in lucem emisit. Circa initium quidem anni 1670 . . . . . pag. tertio. Anno proximo New (1671) Newtonus tractatum de hac methodo & methodo serierum conscripsit ut ipse in Epistola anno 1676 ad D. Leibnitium data testatus est. Anno 1672 Newtonus in Epistola ad Collinsium Data hanc methodum verbis generalibus descripsit & exemplo ducendi tangentes illustravit; Et explar hujus Epistolæ anno 1676 ab Oldenburgo ad D. Leibnitium missa fuit. Eodem anno (1676 D. Newtonus eandem in dubus Epistolis ad D. Leibnitium missis generalis nonnihil explicuit & exempli partim exemplis illustravit partim literis transpositis celatam impertivit ad hunc modum celatam impertivit (6accdæ11effhui4l3m9n6oqqr8s11e3vx 6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx) quæque – – – – – – – et vice versa. Quo autem hæc tenderent perspexit Vir celeberrimus & anno sequente (1677) rescripsit se in parilem. Tandem vero Anno 16 1704 tractatulum de hoc argumento publici juris fecerait, quem annte annum 1676 composuerat ut ex iijs manifestum est quæ ex eodem desumpsit et in ejus Epistola secunda anno 1676 ad D. Leibnitium missa inservit, quemque circa Annum 1691 vir clarissimus Halleius & Ego Cantabrigiæ in manibus habuimus, tuam quidem perlegendo (ab ijs quibus eundem mutuo dederat) mulo obtritum. shall so long live not only — possess & enjoy the said Rangership d Lodge & Gardens & Park Gardens & Park & be enabled to keep the said house & Gardens in repair & good order & speed together with & that to enable her to keep the said hosuse & gardens in good repair & good but also that for enabling her to keep the said house & gardens in repair & good order she may also during her life possess & enjoy th possess & enjoy the said Mannorur of Apscourt according to yethe yethe intention of the said Testator & to enable her to keep the said house & gardens in repair & good order, according to the intention of the said Testator &c NB. At the time of making the Will Codicill, the great Canale & Walks about it were not begun nor designed. And the said George Ealrl of Halifax doth for himself his Executors & Administrators covenan grant & agree to & with the said Catherine Barton that he the said Earl of Halifax shall at the request & will of the said Catherin Barton & at the common & equal charges of them both shall & will divide the said hous south & north Parks with a Pale or fence between them in such manner as they were heretofore divided when they were in the possession of different persons for hindring the passage of any other cattel besides the Deer out of either Park into the other. Circa annum (ut Wallisius in Præfatione ad opere sua olim dt scripsit, 1665 & 1666 — et vice versa; eandemque in Epistola anno 1672 ad Collinsium scripta & postea cum D. Leibnitio communicata, generabit desc verbis apertis descripsit et exemplo ducendi tangentes illustravit. Quo autem hæc truderent, perspexit 140 Mr Oldenberg Leibnitz was in London in Febr. 167

\frac{2}{3}

as appears by his Letters to Mr Oldenberg dated at London 3d & 10th of Feb. 1673 O. St.. He was then upon improving a differential wchwhich Mouton had wrote of before & being suspected of borrowing from Mouton ndefended himself in the first of those two Letters, but made no mention of his having any other differential method at that time. Mr Leibnitz went to Paris before the

\frac{16}{26}

Apr. & from that time kept a correspondence wthwith Mr Oldenburgh & by his means wthwith Mr Collins as appears by his Letters to Mr Oldenburgh dated from Paris

\frac{16}{26}

Apr.

\frac{14}{24}

May, & 1 Iune, & 15 Iuly 1673, & 15 Iuly,

\frac{16}{26}

Octob & 28 Decemb 1674. All entred in the books of yethe Society Mr Leibnitz in his Letter to Mr Oldenberg

\frac{16}{26}

Octob 15 Iuly 1674 ites th. Alia mihi teaches to square a portion of the Trochoid & then subjoining Alia mihi Theoremata sunt momenti non paulo majoris. Ex quibus illud imprimis mirabile est, cujus ope area circuli vel sectoris ejus dati exacte exprimi potest per Seriem quandam numerorum rationalium continue productam in infinitum. Sed et methodos quasdam analyticas habeo generales admodum et late fusas quas majoris facio quam theoremata particularia ex exquisita. In his Letter to Oldenberg of the

\frac{16}{26}

Octob 1674, he writes Scis Dominum Brounkerum & Cl: Wallisium Nic. Mercatorum exhibuisse series infinitam seriem numerorum rationalium spatio Hyperbolaæs æqualem. Sed hoc in circulo efficere hactenus potuit nemo. Etsi enim illi Brounkerus & Wallisius dederint numeros rationales magis magisque approprinquantes, nemo tamen dedit progressionem numerorum rationalium cujus in infinitum continuatæ summa sit exacte æqualis circulo. Sed vero mihi tandem feliciter successit Inveni enim seriem numerorum valde simplicem cujus summa exacte æquali circulo æquatur circumferentiæ circuli; posito, Diametrum esse unitatem. Out of Mr Oldenbergs Answer to Mr Leibnitz dated 8 Dec 1674 24 — Quod de profectu in curvilinearum dimensione memoras bene se habet sed ignorare te nolim Curvarum dimetiendarum rationem & methodum a laudato Gregorio nec non ab Isaaco Newtono ad Curvas quaslibet tum mechanicas tum geometricas, quin et circulum se extenderere ita scilicet ut si in aliqua Curva Ordinatam dederis, istius methodi beneficio possis lineæ Curvæ longitudinem, aream figuræ ejusdem centrum gravitatis, solidum rotundum ejusque superficiem sive erectam sive inclinatam, solidique rotundi segmenta secunda horumque omnium conversa invenire; quin et dato quolibet arcu in quadrato [Quadrante] Logarithmicum sinum tangentem vel secantem vel non cognito naturali & conversum computare. Quod vero ais neminem hactenus dedisse progressionem numerorum rationalium, cujus in infinitum continualæ summa sit æqualis circulo, id vero Tibi laudem fæliciter successisse de eo quidem tibi gratulori &c. 25 — Out of a Letter of Mr Leibnitz to Mr Oldenburg dated from Paris 30th March 1675. Scribis Cl Newtonum vestrum habere methodum exhibendi quadraturas omnes omniumque curvarum, superficierum et solidorum ex revolutione genitorum dimensiones, & centrorum gravitatis inventiones, per approximationes scilicet, ita enim interpretor. Quæ methodus si est inversalis et commoda, meretur æstimari, nec dubito fore ingeniosissimo authore dignam. Addis tale quid Gregorio innotuisse. * 26 — Out of Mr Oldenburghs Answer dated at London 15th April 1675 & sent to Mr Leibnitz at Paris (I think by Mr Tschunhause. NB This answer was writ in English by Collins to Mr Oldenburg & sent dated April 10th & tra sent in Latin to Mr Leibnitz Apr 15. I want a copy of it in Latin. * in another place 141 33 — Out of Mr Leibnitz's letter to Mr Oldenburgh dated at Paris 12 May, 16 1676. — Cum Georgius Mohr Danus [alias Moor Belga] in Geometria et Analysi versatissimus nobis attulerit communicatuam sibi Doctissimo Collinio vestro expressionem relationis inter arcum arcum et sinum per infinitas series [suo more expressam:] sequentes Posito sinu x, arcu z, radio 1.

z π x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{7} + \frac{35}{1152} x^{9}

x π z - \frac{1}{6} z^{3} + \frac{1}{120} z^{5} - \frac{1}{5040} z^{7} - \frac{1}{362880} z^{9}

&c Hæc, inquam, cum nobis attulerit ille, quæ mihi valde ingeniosa videtur, et posterior imprimis series elegantium quandam singularem habeat; ideo rem gratam mihi feceris, Vir Clarissime, si demonstrationem transmiseris. Habebis vicissim mea, ab his longe diversa, circa hanc rem meditata, de quibus jam aliquot abhinc annis ad te perscripsisse credo,, demonstratione tamen non addita, quam nunc polio. Oro ut Clmo Collinio multam a me salutem dicas: is facile Tibi meteriam suppeditabit satis faciendi desiderio meo. NB Upon the Receipt of this Letter 8th May St. v. Mr Oldenburgh & Mr Collins sollicited Mr Newton for an account of his Method of infinite series: wchwhich occasioned his two Letters printed by Dr Wallis dated Iune 13th & Octob 24th wthwith Mr Leib 1676, wthwith Mr Leibnits answers dated at Paris

\overset{27}{17}

August 1676 & 21 Iune 1677, all printed by Dr Wallis. 142 Mr Iames Bernoulli printed in the Ianuary 1691. ianum (quem decennio ante [i.e. ante editionēem Leibnitiani] in Lectionibus suis Geometricis actor, cujusque specimina sunt tota illa Propositionūum tarum farrago) intellexerit, alterum a Dn. L. invenorare vix poterit; utpote qui in priori illo fundatus est, & te in differentialium notatione & operationis aliquo compendio o non differt. Out of the Preface to the Analysis des Infinitement Petits of the Marquess published A: C. 1696. M. Barrow n'en demeura pas là, il inventa aussi une espéce de calcul propre à cette méthode; mais il luy falloit aussi bien que dans cella de M. Descartes, ôter les fractions, & fair évanoüir lous les signes radicans pour s'en servir. Au défault de ce calcul est survenu celuy du célébre M. Leibnis; & ce scavant Géometre à commencé où M. Barrow & les autres avoient fini. Son calcul l'a mené dans Son calcul l'oa mené dans des pais jusqu' ici inconnus; et il y a fait des décovertes qui font l'elonnement des plus habiles Mathématiciens de l'Europe. Mrs Bernoulli ont été Les primiers qui so sont apperçus de la beauté de ce calcul: ils ont porté à une point qui les a mis en état de surmonter des difficultés qu'on n'auraoit jamais osé tenter auparavant. And a little after. C'est encore une justice dûë au sçavant M. Newton, & que M. Leibnis luy meme a rendue luy même: Qu'il avoit aussi trové quelque chose de semblable au Calcul différentiel, comme il paroit par l'excellent Livre intitulé Philosophia naturalis principia Mathematica, qu'il nous donna en 1687, lequel est presque tout de ce calcul. Mais la Charactéristiq de M. Leibnis rend le sien beaucoup plus facile & plus expéditif; outre qu'elle est d'un secours merveillous en bien des rencontres. Out of the Io a Paper of Mr Leibnitz published in the Iournal des Sçavans du 30 Au Aoust. 1694. Il faut rendre cette justice à Mr. Newton (à qui Geometrie, l'Optique, & l'Astronomie out de grandes obligations;) qu'encore en ceci il a eu quelque chose de semblable en son chef, suivant ce qu'on a sçeu depuis. il est vraiy qu'il se sert d' autres characteres: mais comms la characterisque mesme est, pour ainsi dire, une grand part de l'art d'inventer, je crois que la nôstres donnent plus d'overture. NB. When Mr Leibnitz wrote the Paper above mentioned he had not seen the Notation by prickt letters, a notation more convenient then 143 Out of the Book of Mr Nicolas Fatio de Duillier intituled Investigatio Geometrica Solidi rotundi in quod minima fiat resistentia, & published in the year 1699. Quæret forsan Cl. Leibnitius unde mihi cognitus sit iste Calculus quo utor. Ejus equidem fundamenta, ac plerasque Regulas, proprio Marte, Anno 1687, circa Mensem Aprilem et sequentes, alijque deinceps Annis, inveni; quo tempore neminem eo calculi genere, præter meipsum, uti putabam. Nec mihi minus cognitus foret si nondum natus esset Leibnitius. Alijs itaque glorietur discipulis, me certe non potest. Quod satis patebit si olim Literæ quæ inter Clarissimum Hugenium neque, interesserunt, publici juris fiant. Newtonum tamen primum ac pluribus Annis vetustissimum hujus Calculi Inventorem, ipsa rerum evidentia coactus agnosco: a quo utrum quicquam mutuatus sit Leibnitius secundus ejus Inventor, malo eorum quam meum sit judicium, quibus visæ fuerint Newtoni Literæ, alijque ejusdem Manuscripti Codices. Neque modestioris Newtoni silentium, aut prona Leibnitij sedulitas, Inventionem hujus Calculi sibi passim tribuentis, ullis imponet, qui ea pertreclarint quæ ipse evolvi, Instrumenta. NB. MDr Fatio wrote this not as a judge but as a Witness. matter of fait He related what he had seen, & his testimony is the stronger because it was against himself, & no aswer answer has been returned to this testimony. Out of the third part of the Introduction of Mr Iames Bernoulli to the third part of the Positions de Seriebus Infinitis Maintained by Mr Iames Herman & published at Basil in the year 1696. Observarunt Geometræ plurimas dari quantitates, cujussmodi sunt pleræque lineæ Curvæ, et pleraque ab ijs comprehensa spatia quæ nullis numeris vel rationalibus vel surdis quantumvis compositis exprimi, h. e. quarum relationes ad alias datas sub nulla æquatione Algebraica definiti gradus cogi possent se quæ omnes æquationem gradus transcenderent; ac idcirco attendandum duxerunt, num quas uno aliquo numero effari non poterant, per seriem saltem infinitorum maxime rationalium, exprimere liceret, quibus ita continuo ad quæsitum accederetur, ut error tandem data quamvis quantitate minor fieret, totaque series exactum quæsiti valorem exhiberet. Inventum, quod, quantum constat, vergente demum hoc sæculo a Mercatore, Gregorio, Newtono, Leibnitio, in lucem productum fuit. Quid primi tres de his memoriæ prodiderunt, etiamnum ignoramus. Summus Geometra Leibnitius, qui rem haud dubie longissime provenit, inter alias series quads nobis in Aetis Lips. impertivit, unam inclio Actorum 1682. pro Circuli magnitudine dedit, sed methodum qua illuc pervenit, nusquam exposuit. Pag. 108. lin. 12, lin 40, & alibi lege Bernoulli. Pag. 111 lin 2. pro habitu lege lubitu p. 112 lin ult pro Series lege Analysis. p. 114. lin 18 read. a battel between what he calls my forlorn hope, & his the army of his disciples in which he boasts himself happy, p. 115 l. 35 read 1673 p. 120. l. 7. read ea. In Historia Fluxionum p 95 In Historia Fluxionum p. 95 pro lin 10, pro Societatis Regiæ lege Concessus Arbitrorum delectorum a Societate Regia. Ib. lin 41 lege 10 Decem 1672 p. 954 l. 30. lege Collinius initio anni 1671 a Gregorio acceperat & anno 1675 mense cum D. Leibnitio communicaverat et D. Leibnitus eandem. Pag. 95 l. 1. Perplura. p. 93. l. 27 ea est quam Pag. 108 p. 92. l. 17. ante annos 44 vel 45 hanc methodum invenisse, etac redu dignitates et subdignitatems in speciebus redisse adhuc designasse hoc modi virl per

{x + o}^{\frac{m}{n}}

in Seriem

x \frac{m}{n} + \frac{m}{n} o x \frac{m - n}{n} + \frac{m m - m n}{2 n n} o o x \frac{m - 2 n}{n} + \frac{m^{3} - 3 m m n - 2 m n^{3}}{6 n^{3}} o o o x \frac{m - 3 n}{n} + &c

connversam et fluxiones omnes exinde ad infinitum primas secundas &c per analogiam cum terminis hujus seriei designasse, uti in Epistola prima &c After the words of a mademea intente The Committee in their Report affirmed that they had extracted out of the ancient prop (consulted the Letters & Letter Books in the custody of the R. Society & those found among the papers of Mr Iohn Collins & extracted from them the ancient Letters Letter books & authentic Papers what relates to the Matter referred to them; all wchwhich Extracts th delivered by them to the Society they beleived to be genuine & authentick. Mr Leibnitz with his usual candor accuses them for not printing the Letters entire (as well what did not relate to the matter referred to them, as what did relate to it,) as if it were not lawful to cite an author without a Paragraph out of a book without citying the whole book. And he adds that the out of partiality they omitted some things which made against me: But he has twice failed in his proof, & therefore he affirmed rashly what he did not know & his accusation is nothing else then railery. One while the Commercium Epistolicum is too little to deserve an little to b worth answering because the Letters should have been printed entire. Another while it is too bigg to be answered because to answer it would require another book as big & therefore must be the and the ancient authentic Letters, Letters books, & Manuscripts must be laid aside, & the Question be run off into an vtk squabble about Philosophy & other matters & the great Mathematician, who concealed his na in his Letter of to Mr Leibnitz dated 7 Iune 169 1713, concealed his name that he might pass for an impartial Iudge; must now pull off his vizzard, & become a parti in this squabble d sending a challenge by Mr Leibnitz to the MathematiansMathematicians in England: as if a Duell was the a fitter way to decide the Question with then an appeal to antiquity, & Mathematicks it self must henceforward become the subject of Knight Errantry, & the Differential Method be the first Knights Dulcinea be the Dulcinea of the first Knights.