Perquam gaudeo, DniDomini Barrovij Lectiones Mathematicas adeo acceptus esse Mathematicis exteris; nec parvùm me afficiebat, quod intelligerem, illos in eandem mecum nicidisse methodum Tangentes ducendi. Quam ipsorum methodum conjùram, hoc Exemplo videbis;

Suppone $\mathrm{CB}$, applicatam d ad $\mathrm{AB}$ ad in quolibet angulo datuom, terminari ad quamvis curvam $\mathrm{AC}$, et $\mathrm{AB}$ appellato $\mathrm{x}$, et $\mathrm{BC}$ $\mathrm{y}$, relatio inter $\mathrm{x}$ et $\mathrm{y}$ exprimatur æquatione qualibet, puta $${\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^3=0$$$${\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}+\mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}-\mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}-{\mathrm{y}}^3=0$$ quâ ipsâ determinatꝫur curva. Ad ducendam Tangentem Regula hæc est: Multiplica terminos æquationis per quamvis progressionem Arithmeticaam juxta dimensiones $\mathrm{y}$, puta hoc modo; $$\begin{array}{ccccccccccc}0& & 1& & 0& & 0& & 2& & 3\\ {\mathrm{x}}^3& -& 2\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}& +& \mathrm{b}\mathrm{x}\mathrm{x}& -& \mathrm{b}\mathrm{b}\mathrm{x}& +& \mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}& -& {\mathrm{y}}^3\\ 3& & 2& & 2& & 1& & 0& & 0\end{array}$$ Productum primum erit Numerator, et postremum pe divisum per $\mathrm{x}$, erit Denominator fractionis, quæ exprimit longitudinem $\mathrm{BD}$, ad cujus finem ducanda est Tangens; & Longitudo $\mathrm{BD}$ est $\frac{-2\mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{y}+2\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{y}-3{\mathrm{y}}^3}{3\mathrm{x}\mathrm{x}-4\mathrm{x}\mathrm{y}+2\mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{b}\mathrm{b}}$.