Copy of a letter from Newton to Henry Oldenburg, dated 13 June 1676

Copy of a letter from Newton to Henry Oldenburg, dated 13 June 1676 Isaac Newton c. 2,186 words The Newton Project Falmer 2012 Newton Project, University of Sussex

This metadata is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

Images made available for download are licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (CC BY-NC 3.0)

This text is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

13 June 1676 (c. 1700 scribal copy), in Latin, c. 2,704 words, 4 ff. 4 ff.

in Latin

Copy of a letter from Newton to Henry Oldenburg, dated 13 June 1676 [MS Add. 3977.6] MS Add. 3977.5, Cambridge University Library, Cambridge, UK UKCambridgeCambridge University Library Portsmouth Collection MS Add. 3977.5 </msItem> </msContents> </msDesc> </sourceDesc> </fileDesc> <profileDesc> <creation> <origDate when="1676-06-13">13 June 1676 (<hi rend="italic">c.</hi> 1700 scribal copy)</origDate> <origPlace>England</origPlace> </creation> <langUsage> <language ident="lat">Latin</language> </langUsage> <handNotes> <handNote xml:id="unknown1">Unknown Hand (1)</handNote> <handNote xml:id="unknown2">Unknown Hand (2)</handNote> <handNote xml:id="unknown3">Unknown Cataloguer (1)</handNote> <handNote xml:id="unknown4">Unknown Cataloguer (2)</handNote> <handNote xml:id="unknown5">Unknown Cataloguer (3)</handNote></handNotes> </profileDesc> <encodingDesc> <classDecl><taxonomy><category><catDesc n="Mathematics">Mathematics</catDesc><category><catDesc n="Correspondence">Correspondence</catDesc></category></category></taxonomy></classDecl> </encodingDesc> <revisionDesc> <change when="2012-05-29"><name>Daniele Cassisa</name> started tagged transcription</change> <change when="2012-07-13" type="metadata">Catalogue information compiled from CUL Janus Catalogue by <name xml:id="mjh">Michael Hawkins</name></change> <change when="2012-09-11">Proofed by <name>Robert Iliffe</name></change> <change when="2012-09-18" status="released">Preliminary audit of XML by <name>Michael Hawkins</name></change> </revisionDesc> </teiHeader> <facsimile xml:base="http://cudl.lib.cam.ac.uk/newton/images/"> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00001.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00001.jpg" n="1r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00002.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00002.jpg" n="1v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00003.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00003.jpg" n="2r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00004.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00004.jpg" n="2v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00005.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00005.jpg" n="3r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00006.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00006.jpg" n="3v"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00007.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00007.jpg" n="4r"/> <graphic xml:id="MS-ADD-03977-005-00008.jpg" url="MS-ADD-03977-005-00008.jpg" n="4v"/> </facsimile> <text> <body> <div xml:lang="lat" type="letter"> <pb xml:id="p001r" n="1r" facs="#MS-ADD-03977-005-00001.jpg"/><fw type="shelfmark" place="topRight" hand="#unknown3">(5)</fw><fw type="pag" place="topRight" hand="#unknown4">1</fw><fw type="pag" place="topLeft" hand="#unknown5">(1)</fw> <hi rend="underline">June 13<hi rend="superscript">th</hi> 1676.</hi> Dignissime <supplied reason="damage" evidence="internal" cert="medium"><add indicator="no" place="inline" hand="#unknown2">Vir</add></supplied> <supplied reason="damage" evidence="internal" cert="medium"><add indicator="no" place="marginLeft" hand="#unknown2">Quanquam D. Leibnitij, modestia</add></supplied> in excerptis quæ ex Epistola ejus <lb xml:id="l1"/>ad me <supplied reason="damage" evidence="internal" cert="medium"><add indicator="no" place="marginLeft" hand="#unknown2">nuper misisti nostratibus</add></supplied> multum tribuat circa specula<lb type="hyphenated" xml:id="l2"/>tionem <supplied reason="damage" evidence="internal" cert="medium"><add indicator="no" place="marginLeft" hand="#unknown2">quandam infinitar<choice><orig>ū</orig><reg>um</reg></choice></add></supplied> serierum de quâ jam cœpit esse <lb xml:id="l3"/>rumor: nullus dubito tamen quin ille, non tantum (quod asserit) <lb xml:id="l4"/>methodum reducendi quantitates quascunq<choice><orig>ꝫ</orig><reg>ue</reg></choice> in ejusmodi series, <lb xml:id="l5"/>sed et varia compendia, fortè nostris similia, si non et melio<lb type="hyphenated" xml:id="l6"/>ra, adinvenerit. Quoniam tamen ea scire pervelit quæ ab <lb xml:id="l7"/>Anglis hâc in re inventa sunt, et ipse ante annos aliquot <lb xml:id="l8"/>in hanc speculationem inciderim: ut votis ejus aliqua saltern ex <lb xml:id="l9"/>parte satisfacerem <add indicator="no" place="supralinear">iam</add>, nonnulla eor<del type="over"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></del><add indicator="no" place="over">u</add>m quæ mihi occurre<lb type="hyphenated" xml:id="l10"/>run<del type="over"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></del><add indicator="no" place="over">t</add>, ad <del type="cancelled">et</del> <add indicator="yes" place="supralinear">te</add> transmisi. Fractiones in infinitas series reduc<del type="cancelled">u</del><add indicator="no" place="supralinear">o</add><del type="strikethrough">ntur</del> <choice><orig>ꝑ</orig><reg>per</reg></choice> divisionem et <lb xml:id="l11"/>quantitates radicales <choice><orig>ꝑ</orig><reg>per</reg></choice> Extractionem radicum, perindè insti<lb type="hyphenated" xml:id="l12"/>tuendo operationes istas in speciebus ac <supplied reason="damage" evidence="external" cert="high">in</supplied>stitui solent in deci<lb xml:id="l13"/>mali<del type="over"><gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></del><add indicator="no" place="over">b</add>us numeris. Hæc sunt fundamenta harum reductio<lb type="hyphenated" xml:id="l14"/>num; sed extractiones radicum multum abbreviantur <choice><orig>ꝑ</orig><reg>per</reg></choice> hoc <lb xml:id="l15"/>Theorema. <formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><mrow><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>B</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>C</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>D</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></formula>. <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="intentional" xml:id="l16"/>Ubi <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> significat quantitatem cujus radix vel etiam dimen<tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="hyphenated" xml:id="l17"/>tio qu<tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="no" place="over">æ</tei:add>vis vel radix dimensionis investiganda est. <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>P</mn></math></tei:formula> primum <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l18"/>terminum quantitatis ejus, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Q</mn></math></tei:formula> reliquos terminos divisos <tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l19"/>primum, & <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></math></tei:formula> numeralem indicem dimensionis ipsius <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> sive <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l20"/>dimentio illa integra sit, sive (ut ita loquar) fracta, sive afferma<tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="hyphenated" xml:id="l21"/>tiva, sive negativa. Nam sicut <tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:sic>Analycæ</tei:sic><tei:corr>Analystæ</tei:corr></tei:choice> pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:add xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" indicator="yes" place="supralinear"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula></tei:add> &c scribere solent <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l22"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mn>2</mn></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></math></tei:formula>, sic ego pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt/><mn>a</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt/><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msqrt/><mo>c.</mo></mrow><mspace width="0.3em"/><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula> &c scribo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, & pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>a</mn></mfrac></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mfrac></math></tei:formula> <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l23"/>scribo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>a</mn><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math></tei:formula>. Et sic pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mrow><msqrt/><mn>c:</mn><mspace width="0.3em"/><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></math></tei:formula> scribo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mo>×</mo><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>, & <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l24"/>pro <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mfrac linethickness="0"><mphantom><mo>.</mo></mphantom><mrow><msqrt/><mn>c:</mn><mspace width="0.3em"/><mover><mrow><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mspace width="0.5em"/><mo>×</mo><mspace width="0.5em"/><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></mfrac></math></tei:formula> scribo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow><mo>×</mo><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>: in quo ultimo casu <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l25"/>si <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></math></tei:formula> conciapiatur esse <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>P</mn><mo>+</mo><mrow><mn>P</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></math></tei:formula> in Regulâ; erit <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l26"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, & <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></tei:formula>. Deniq<tei:choice xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> pro terminis inter operandum <tei:del xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> inventis <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l27"/>in Quoto, usurpo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula>, <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>D</mn></math></tei:formula> &c nempe <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> pro primo termino <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></math></tei:formula>, <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l28"/><tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula> pro secundo <tei:formula xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> & sic deinceps. Cæterum usus Regulæ patebit <tei:lb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="l29"/>Exemplis. <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par6">Exempl: 1. Est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msqrt/><mspace width="0.2em"/><mover><mrow><mphantom><mo mathsize="80%">|</mo></mphantom><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mphantom><mo mathsize="80%">|</mo></mphantom></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mspace width="1em"/><mfenced open="(" close=")"><mrow><mtext>seu</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup><mrow><mn>16</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>8</mn></msup></mrow><mrow><mn>128</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l30"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>10</mn></msup></mrow><mrow><mn>256</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Nam in hoc casu est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l31"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>C</mn><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mn>n</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>B</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>, & sic deinceps.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par7">Exempl: 2. Est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msqrt/><mo>⑤</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mrow><mover><mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mtext>i.e.</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>c</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mspace width="1em"/><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mrow><mrow><mn>25</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l32"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>10</mn></msup></mrow></mrow><mrow><mn>25</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></math></tei:formula> ut patebit substituendo in allatam Regulam, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>m</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></math></tei:formula> pro <tei:lb xml:id="l33"/><tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>P</mn></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mfrac></math></tei:formula></tei:supplied> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Q</mn></math></tei:formula>. Potest <tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>tiam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula> substitui pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>P</mn></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></math></tei:formula> pro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Q</mn></math></tei:formula>, et tunc <tei:pb xml:id="p001v" n="1v" facs="#MS-ADD-03977-005-00002.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topLeft">2)</tei:fw> evadet <tei:lb xml:id="l34"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msqrt/><mo>⑤</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mrow><mover><mrow><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>9</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>c</mn><mn>10</mn></msup></mrow><mrow><mn>25</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula></tei:supplied>. Prior modus <tei:lb xml:id="l35"/>elig<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>ndus est si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> valde <tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">parvum sit, posterior si valde</tei:supplied> magnum.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par8"><tei:choice><tei:sic>Exampl:</tei:sic><tei:corr>Exempl:</tei:corr></tei:choice> 3. Est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>N</mn><mrow><mrow><msqrt/><mo>③</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mover><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></mrow><mspace width="0.5em"/></math></tei:formula><tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mtext>hoc est</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:supplied><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>y</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mrow><mn>81</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l36"/>Nam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow><mrow><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><msup><mn>y</mn><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:supplied><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mo>=</mo><msup><mn>y</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula>. hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>y</mn></mfrac></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l37"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mrow><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>y</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mrow><mrow><mn>y</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par9"><tei:choice><tei:sic>Exampl:</tei:sic><tei:corr>Exempl:</tei:corr></tei:choice> 4. Radix cubica ex quadrato-quadrato ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> (hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfenced open="" close=")"><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l38"/>Est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>81</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Nam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l39"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></math></tei:formula> &c.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par10">Eodem modo simplices etiam potestates eliciuntur. Ut si quadrato-cubus <tei:lb xml:id="l40"/>ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mtext>hoc est</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mn>5</mn></msup><mtext>, seu</mtext><mspace width="0.5em"/><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>1</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow></math></tei:formula> desideretur: erit juxta Regulam <tei:lb xml:id="l41"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mn>5</mn></mrow></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>; adeoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><msup><mn>d</mn><mn>5</mn></msup></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, & <tei:lb xml:id="l42"/>sic <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>C</mn><mo>=</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>D</mn><mo>=</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>E</mn><mo>=</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>F</mn><mo>=</mo><mrow><msup><mn>e</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>G</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>m</mn><mo>−</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>F</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>. Hoc est <tei:lb xml:id="l43"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mn>5</mn></msup></mrow><mo>=</mo><mrow><msup><mn>d</mn><mn>5</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mo>+</mo><msup><mn>e</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par11">Quinetiam Divisio, sive simplex sit, sive repetita, <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> eandem Regulam <tei:lb xml:id="l44"/>perficitur. Ut si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></mfrac></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mtext>hoc est</mtext><mspace width="0.5em"/><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow><mspace width="0.5em"/><mtext>sive</mtext><mspace width="0.5em"/><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></mfenced></math></tei:formula> in seriem simplicium <tei:lb xml:id="l45"/>terminorum resolvendum sit: erit juxta Regulam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>P</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>Q</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>m</mn><mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l46"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula>. & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>A</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mo>=</mo><msup><mn>P</mn><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac></msup><mo>=</mo><msup><mn>D</mn><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>1</mn></mfrac></msup></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><msup><mn>d</mn><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula> seu <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>d</mn></mfrac></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>B</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced open="(" close=")"><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>m</mn><mn>n</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn><mo>⁢</mo><mn>Q</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>×</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>d</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mn>e</mn><mn>d</mn></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow> <mo>=</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula>, & sic <tei:lb xml:id="l47"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>C</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mfrac></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>D</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup></mfrac></mrow></math></tei:formula> &c Hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>d</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>e</mn><mn>3 </mn></msup><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par12">Sic et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math></tei:formula> (hoc est unitas ter divisa <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></math></tei:formula> vel semel per cubum <tei:lb xml:id="l48"/>ejus,) evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>4</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><msup><mn>d</mn><mn>5</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><msup><mn>d</mn><mn>6</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par13">Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>N</mn></math></tei:formula> divisum <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> radicem cubicam ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l49"/>evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>e</mn><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>3</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>81</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>10</mn><mn>8</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par14">Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><msup><mrow><mfenced open="" close="}"><mover><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mfenced></mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></math></tei:formula> (hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>N</mn></math></tei:formula> divisum per radicem quadrato-cubicam ex cubo <tei:lb xml:id="l50"/>ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>d</mn><mo>+</mo><mn>e</mn></mrow></math></tei:formula>, sive <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="" close=")"><mrow><mfrac><mn>N</mn><mrow><mrow><msqrt/><mo>⑤</mo></mrow><mspace width="0.5em"/><mover><mrow><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mo>+</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math></tei:formula> evadit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>N</mn><mo>×</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>9</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>12</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow><mrow><mn>25</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>13</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>52</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>125</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>18</mn><mn>5</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par15">Per eandem Regulam Genesses Potestatum, Divisiones <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> potestates aut <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> quan<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l51"/>titates radicales, et extractiones radicum altiorum in numeris etiam com<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l52"/>modè instituuntur.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par16"><tei:hi rend="larger">Extractiones Radicum affectarum</tei:hi> in speciebus i<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">m</tei:add>itantur earum <tei:lb xml:id="l53"/>extractiones in numeris, sed methodus Vietæ et Ou<tei:del type="over">t</tei:del><tei:add indicator="no" place="over">g</tei:add>htredi nostri huic <tei:lb xml:id="l54"/>negotio minus idonea est, quapropter aliam excogitare adactus sum <tei:lb xml:id="l55"/>cujus specimen exhibent sequentia Diagra<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>ata ubi dextra columna pro<tei:lb xml:id="l56"/>dit substituendo in mediâ columnâ valores ipsorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>y</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>q</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> &c in si<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l57"/>nistra columnâ expressos. Prius Diagramma exhibet resolutionem hujus <tei:lb xml:id="l58"/>numeralis æquationis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>; Et hic in supremis numeris pars nega<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l59"/>tiva Radicis subducta de parte affirmativa relinquit absolutam Radicem <tei:lb xml:id="l60"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn><mspace width="0.5em"/><munder accentunder="true"><mrow><mo mathsize="50%">|</mo><mspace width="0.5em"/><mn>09455148</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></munder></mrow></math></tei:formula>: et posterius Diagramma exhibet resolutionem hujus liter<tei:supplied reason="binding" cert="medium">ariæ</tei:supplied> <tei:lb xml:id="l61"/>æquationis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:pb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="p002r" n="2r" facs="#MS-ADD-03977-005-00003.jpg"/><tei:fw xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="pag" place="topRight">2</tei:fw><tei:fw xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="pag" place="topLeft">(3)</tei:fw> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par17"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnalign="left" rowlines="solid" rowspacing="0.3ex"> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd><mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd><mtable columnalign="right"><mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd columnalign="left"><mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd><mtable><mtr><mtd/></mtr><mtd/><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd columnalign="left"><mspace width="1em"/> <mtable rowlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mrow><mfenced open="(" close=""><mtable columnspacing="0"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>2,10000000</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,00544852</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mfenced open="" close=""><mtable columnspacing="0"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>2,09455148</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>p</mn></mrow><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr> <mtd><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow></mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>8</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>12</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>4</mn></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>5</mn></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mphantom><mtext>summa</mtext><mphantom><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable rowlines="solid" columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>+</mo><mn>0,1</mn><mo>+</mo><mn>q</mn></mrow><mo>=</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr> <mtd><mo>+</mo><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,001</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>0,03</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>0,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,06</mn><mphantom><mn>1</mn></mphantom></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>1,2</mn><mphantom><mn>0</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mphantom></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6</mn><mphantom><mn>,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mphantom></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>1</mn><mphantom><mn>,001</mn></mphantom></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>10,</mn><mphantom><mn>0</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mphantom></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom><mtext>summa</mtext><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable rowlines="solid" columnspacing="0.3em" columnalign="right"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><mo>+</mo></mphantom></mtd><mtd><mn>0,061</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>11,23</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>6,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>−</mo><mn>0,0054</mn><mo>+</mo><mn>r</mn></mrow><mo>=</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable columnalign="right"> <mtr> <mtd><mo>+</mo><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>6,3</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>11,23</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd> </mtr> <mtr> <mtd><mo>+</mo><mrow><mn>0,061</mn></mrow></mtd> </mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,0000001</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>0,000</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd><mtd><mphantom><mo>+</mo></mphantom></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd><mtd><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,0001837</mn></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mphantom><mn>0</mn></mphantom><mn>0,068</mn></mtd><mtd><mphantom><mn>q</mn></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,060642</mn><mphantom><mn>0</mn></mphantom></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>11,23</mn></mtd><mtd><mphantom><mn>q</mn></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>0,061</mn></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom><mtext>summa</mtext><mphantom><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable rowlines="solid" columnspacing="0.3em" columnalign="right"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>0,0005416</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>11,162</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>−</mo><mn>0,00004852</mn><mo>+</mo><mn>s</mn></mrow><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd> <mtd><mphantom><mo>_</mo></mphantom></mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr><mtd><mphantom><mo>_</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par18"><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable><mtr><mtd> <mtable columnalign="left" rowlines="solid" rowspacing="0.3ex"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right" rowalign="top"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd><mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd><mtable columnalign="right"><mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd columnalign="left"><mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd><mtable><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></mtd> <mtd columnalign="left"> <mfenced open="(" close=""><mrow><mn>a</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>64</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>131</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>512</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>509</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>16384</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mfenced> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mn>a</mn><mo>+</mo><mn>p</mn></mrow><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><msup><mn>y</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mphantom><mo>+</mo></mphantom></mtd><mtd><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>y</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mn>q</mn></mrow><mo>=</mo><mn>p</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><msup><mn>p</mn><mn>3</mn></msup></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mspace width="1em"/></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>p</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable columnlines="solid" columnalign="right"> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd> <mrow><mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>64</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mn>r</mn></mrow><mo>=</mo><mn>q</mn></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>4096</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mtd><mtd><mspace width="1em"/></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>1024</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mtd><mtd><mspace width="1em"/></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mn>128</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>65</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>65</mn><mn>64</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable><mtr><mtd/></mtr></mtable> </mtd> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd> <mtd columnalign="left"> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable> </mtd> </mtr> <mtr><mtd><mphantom><mo>_________________________</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>._____________.</mo></mphantom></mtd><mtd><mphantom><mo>__________________________________________________</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr><mtd><mphantom><mo>_</mo></mphantom></mtd></mtr> </mtable> </mtd></mtr> <mtr><mtd> <mrow><mfenced open="" close=")"><mrow><mphantom><mfrac><mn>0</mn><msup><mn>0</mn><mn>0</mn></msup></mfrac></mphantom><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mfenced><mo>+</mo><mrow><mfrac><mn>131</mn><mn>128</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>15</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>4096</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mfenced open="(" close=""><mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>131</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>512</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>509</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup></mrow><mrow><mn>16384</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mtext>.</mtext><mphantom><mfrac><mn>0</mn><msup><mn>0</mn><mn>0</mn></msup></mfrac></mphantom></mrow> </mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula></tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par19">In prior<tei:del type="cancelled">i</tei:del> Diagra<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>ate primus terminus valoris ipsorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>p</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>q</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula>, in prima <tei:lb xml:id="l62"/>columnâ invenitur dividendo primum terminum su<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>æ proximè <tei:lb xml:id="l63"/>superioris <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> coefficientem secundi termini ejusdem su<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>æ <tei:add indicator="yes" place="supralinear" hand="#unknown2">ut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></math></tei:formula> per <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn></math></tei:formula> aut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0,061</mn></math></tei:formula> per <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>11,23</mn></math></tei:formula> et mutando signum quoti.</tei:add>: et idem <tei:lb xml:id="l64"/>terminus eodem ferè modo invenitur in secundo diagrammate. <tei:lb xml:id="l65"/>Sed <tei:add indicator="no" place="supralinear">Verùm</tei:add> hic præcipua difficultas est in inventione primi termini radicis: <tei:lb xml:id="l66"/><tei:del type="strikethrough">id quod</tei:del> methodo <tei:add indicator="no" place="supralinear">um</tei:add> generali <tei:add indicator="no" place="supralinear">em qua id</tei:add> perficitur, <tei:del type="strikethrough">sed hoc</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear"><tei:unclear reason="hand" cert="low">anc</tei:unclear></tei:add> brevitatis gratia <tei:del type="strikethrough">jam</tei:del> præ<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l67"/>tereo, ut et alia quædam quæ ad concinnandam operationem spectant. Neq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:add indicator="yes" place="supralinear">enim</tei:add> hic compendia tradere vacat, <tei:del type="cancelled">sed</tei:del> dicam tantum in genere <tei:lb xml:id="l68"/>quod radix cujusvis æquationis semel extracta pro regula resolvendi <tei:lb xml:id="l69"/>consimiles æquationes asservari <tei:del type="cancelled">potest</tei:del> possit; <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> quod<tei:add indicator="no" place="inline">q<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice></tei:add> <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> ex pluribus ejusmo<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l70"/>di regulis, r<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>gulam generaliorem plerumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> efformare liceat; <tei:add indicator="no" place="supralinear">&</tei:add> quod<tei:del type="cancelled">q<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice></tei:del> <tei:lb xml:id="l71"/>radices omnes, sive simplices sint sive affectæ, modis infinitis <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> extrahi <tei:lb xml:id="l72"/><tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="high">p</tei:supplied>ossint, de quorum simplicioribus itaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> semper consulendum <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> est.</tei:p> <tei:pb xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="p002v" n="2v" facs="#MS-ADD-03977-005-00004.jpg"/><tei:fw xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" type="pag" place="topLeft">4)</tei:fw> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par20">Quomodo ex æquationibus, <tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">sic ad infinitas series reductis, ar</tei:supplied>eæ & longitudines <tei:lb xml:id="l73"/>curvarum, cont<tei:supplied reason="blot" evidence="external" cert="medium">en</tei:supplied>ta et sup<tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">erficies solidorum, vel quorum</tei:supplied>libet segmentorum <tei:lb xml:id="l74"/>figurarum quarumvis eoru<tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">mq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> centra gravitatis deter</tei:supplied><tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">m</tei:add>inan<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">t</tei:add>ur, & quomodo <tei:lb xml:id="l75"/>etiam Curvæ omnes Mechanicæ <tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">ad ejusmodi æquation</tei:supplied>es infinitarum serie<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l76"/>rum reduci possint, indeq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> Prob<tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">lemata circa ill</tei:supplied>as resolvi perinde <tei:lb xml:id="l77"/>ac si geometricæ essent, nimis longum foret describere. Sufficiat <tei:add indicator="no" place="supralinear">cerit</tei:add> specimi<tei:lb xml:id="l78"/>na quædam talium Problematum recensuisse: inq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ijs brevitatis gratia <tei:lb xml:id="l79"/>literas <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>D</mn></math></tei:formula> &c pro terminis seriei, sicut sub initio, nonnunquam <tei:lb xml:id="l80"/>usurpabo.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par21">1. Si ex dato sinu recto vel sinu verso arcus desideretur: sit radius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l81"/>& sinus rectus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. hoc est <tei:lb xml:id="l82"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo>×</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>D</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Vel sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>d</mn></math></tei:formula> diameter <tei:lb xml:id="l83"/>& <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> sinus versus, et erit arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mrow></mrow><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:lb xml:id="l84"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>6</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par22">2. Si vicissim ex dato arcu desiderentur sinus: <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del> sit radius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> et arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l85"/>eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> sinus rectus <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="10"/></tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup><mrow><mn>5040</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>9</mn></msup><mrow><mn>36288</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>8</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l86"/>hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>; Et sinus versus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l87"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>6</mn></msup><mrow><mn>720</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>8</mn></msup><mrow><mn>4032</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>, hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mrow><mn>8</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par23">3. Si arcus capiendus sit in ratione datâ ad alium arcum: esto <tei:add indicator="yes" place="supralinear">circuli</tei:add> diameter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l88"/>Chorda arcûs dati <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>, & arcus quæsitus ad arcum illum datum ut <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math></tei:formula>; <tei:lb xml:id="l89"/>eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> arcûs quæsiti chorda <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>A</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>25</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>C</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l90"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>36</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>D</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>49</mn><mo>−</mo><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>×</mo><mrow><mn>11</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>E</mn></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Ubi nota quod <tei:del type="strikethrough">cùm</tei:del> <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#unknown2">si</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> est numerus <tei:lb xml:id="l91"/>impar, series desinet esse infinita, & evadet eadem quæ prodit <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> vulgarem Algebram ad multiplicandum datum angulum <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> istum <tei:lb xml:id="l92"/>numerum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par24">4. Si in axe alterutro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> ellipseos <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>ADB</mn></math></tei:formula> (cujus <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00181-01.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l93"/>centrum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula> & axis alter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DH</mn></math></tei:formula>) detur punctum aliquod <tei:lb xml:id="l94"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>E</mn></math></tei:formula> circa quod recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>EG</mn></math></tei:formula> occurrens Ellipsi in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>G</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l95"/>motu angulari feratur, & ex datâ area sectoris <tei:lb xml:id="l96"/>Ellipticæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BEG</mn></math></tei:formula> quæratur recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GF</mn></math></tei:formula> quæ à puncto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>G</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l97"/>ad axem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> normaliter demittitur: esto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BC</mn><mo>=</mo><mn>q</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l98"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DC</mn><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>EB</mn><mo>=</mo><mn>t</mn></mrow></math></tei:formula>, ac duplum areæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BEG</mn><mo>=</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula>; & erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>GF</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>z</mn><mn>t</mn></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>q</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn></mrow></mrow><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l99"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mrow><mn>280</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>q</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>504</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>225</mn><mo>⁢</mo><mn>q</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn><mo>⁢</mo><mn>t</mn></mrow></mrow><mrow><mn>5040</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>6</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>t</mn><mn>10</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Sic itaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> Astronomicum illud Kepleri <tei:lb xml:id="l100"/>Problema resolvi potest.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par25">5. In eâdem Ellipsi si statuatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CD</mn><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>CB</mn><mo>q</mo></msup><mn>CD</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CF</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>, erit arcus <tei:lb xml:id="l101"/>Ellipticus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnalign="left" columnspacing="0.3em"> <mtr><mtd><mn>DG</mn></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>x</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>18</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>11</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>28</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd> <mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3 </mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>48</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>3</mn><mrow><mn>88</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>5</mn><mrow><mn>1152</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>8</mn></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>5</mn><mrow><mn>352</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>9</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>7</mn><mrow><mn>2816</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>10</mn></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l102"/>Hic numerales coe<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">f</tei:add>ficientes supremorum <tei:lb xml:id="l103"/>terminorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>6</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>10</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>14</mn></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mfenced></math></tei:formula> sunt in <tei:lb xml:id="l104"/>musica progressione, & numerales coefficientes omnium <tei:lb xml:id="l105"/>inferiorum in unaquaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> columna prodeunt multiplicando continuò <tei:fw type="catch" place="bottomRight">num<tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">eralem</tei:supplied></tei:fw><tei:pb xml:id="p003r" n="3r" facs="#MS-ADD-03977-005-00005.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknown4">3</tei:fw><tei:fw type="pag" place="topLeft" hand="#unknown3">5)</tei:fw> Numeralem coefficientem supremi termini <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> terminos hujus progressi<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l106"/>onis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>7</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>7</mn></mrow><mn>8</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>9</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>9</mn></mrow><mn>10</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>: ubi <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> significat nume<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l107"/>rum dimensionum ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>c</mn></math></tei:formula> in denominatore istius supremi termini. <tei:lb xml:id="l108"/>E:g: ut terminorum infra <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></math></tei:formula>, numerales coefficientes inveniantur, <tei:lb xml:id="l109"/>pono <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>6</mn></mrow></math></tei:formula>, ducoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>22</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> (numeralem coefficientem ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>22</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>) <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>in</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l110"/>hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo rspace="0.5em">in</mo><mn>1</mn></math></tei:formula>; et prodit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>22</mn></mfrac></math></tei:formula> numeralis coefficiens termini proximè inferior<tei:supplied reason="damage" evidence="external" cert="medium">is;</tei:supplied> <tei:lb xml:id="l111"/>dein duco hunc <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>22</mn></mfrac><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> sive <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">in</mo><mfrac><mrow><mn>n</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo rspace="0.5em">in</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> & prodit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mn>88</mn></mfrac></math></tei:formula> nume<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l112"/>ralis coefficiens tertij termini in ista columna. Atq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ita <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>88</mn></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mn>6</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> facit <tei:lb xml:id="l113"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>5</mn><mn>352</mn></mfrac></math></tei:formula> num: coeff: <tei:choice><tei:abbr>q:<tei:hi rend="superscript">ti</tei:hi></tei:abbr><tei:expan>quarti</tei:expan></tei:choice> termini & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>352</mn></mfrac><mo>×</mo> <mfrac><mrow><mrow><mfrac><mn>7</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>n</mn></mrow><mo>−</mo><mn>7</mn></mrow><mn>8</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula> facit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>7</mn><mn>2816</mn></mfrac></math></tei:formula> numeralem coefficien<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l114"/>tem infimi termini. Idem in alijs ad infinitum usq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> columnis præsta<tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="3"/></tei:del><tei:add indicator="yes" place="supralinear">ri</tei:add> <tei:lb xml:id="l115"/>potest, adeoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> valor ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DG</mn></math></tei:formula> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> hanc regulam pro lubitu produci. <tei:lb type="intentional" xml:id="l116"/>Ad hæc si <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BF</mn></math></tei:formula> dicatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula>, sitq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula> latus rectum Ellipseos & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>e</mn><mo>=</mo><mfrac><mn>r</mn><mn>AB</mn></mfrac></mrow></math></tei:formula>; erit <tei:lb xml:id="l117"/>arcus Ellipticus <tei:lb type="intentional" xml:id="l118"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable rowalign="top"> <mtr> <mtd> <mtable rowspacing="1em"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd> <mtable rowalign="top"><mtr> <mtd><mrow><mn>BG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><msqrt/><mrow><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow><mo lspace="1em" rspace="1em">in</mo></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid" rowspacing="1em"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd> <mtable rowalign="top"><mtr> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mphantom><msqrt/></mphantom></mtr><mtr><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mo>}</mo> </mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mn>x</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> <mtd/> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>2</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>5</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable><mspace width="0.5em"/><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> <mtd><mspace width="1em"/></mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mn>4</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>23</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>7</mn><mn>16</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable><mspace width="0.5em"/><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> <mtd><mspace width="1em"/></mtd> <mtd> <mtable rowlines="solid"> <mtr><mtd><mrow> <mtable columnspacing="0" columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mn>10</mn><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mn>30</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>123</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>e</mn><mo>⁢</mo><mn>e</mn></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>91</mn><mn>8</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>45</mn><mn>128</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>e</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable><mspace width="0.5em"/><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mphantom><msqrt/></mphantom></mtd> </mtr></mtable> </mtd></mtr> </mtable> </mtd> <mtd> <mtable rowspacing="1em"> <mtr><mtd/></mtr> <mtr><mtd> <mtable rowalign="top"><mtr> <mtd><mrow><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext><mrow><mphantom><msqrt/></mphantom></mrow></mrow></mtd> </mtr></mtable> </mtd></mtr> </mtable> </mtd> </mtr></mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l119"/>Quare si ambitus totius Ellipseos desideretur: biseca <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CB</mn></math></tei:formula> in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>F</mn></math></tei:formula>, & quære <tei:lb xml:id="l120"/>arcum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DG</mn></math></tei:formula> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> prius Theorema & arcum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GB</mn></math></tei:formula> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> posterius.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par26">6 Si vice versa ex dato arcu Elliptico <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DG</mn></math></tei:formula> quæratur sinus ejus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CF</mn></math></tei:formula>, tum <tei:lb xml:id="l121"/>dicto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CD</mn><mo>=</mo><mn>r</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>CB</mn><mo>q</mo></msup><mn>CD</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>, & arcu illo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DG</mn><mo>=</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula> erit <tei:lb type="intentional" xml:id="l122"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="left"> <mtr><mtd><mn>CF</mn></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>z</mn></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mtext>&c.</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>13</mn><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mo>+</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>71</mn><mrow><mn>420</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr> <mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mo>−</mo></mtd><mtd><mrow><mfrac><mn>493</mn><mrow><mn>5040</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l123"/>Quæ autem de Ellipsi dicta sunt, omnia facilè accommodantur ad Hyper<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l124"/>bolam: mutatis tantum signis ipsorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>c</mn></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>e</mn></math></tei:formula> ubi sunt <tei:add indicator="no" place="supralinear" hand="#unknown2"><tei:choice><tei:unclear reason="hand" cert="low">ea</tei:unclear></tei:choice></tei:add> imparium dimentionum.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par27">7. Præterea si sit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CE</mn></math></tei:formula> Hyperbola cujus <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00181-02.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l125"/>Asymptoti <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AF</mn></math></tei:formula> rectum angulum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>FAD</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l126"/>constituant & ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula> erigantur utcunq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> perpen<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l127"/>dicula <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BC</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DE</mn></math></tei:formula> occurrentia Hyperbolæ in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>E</mn></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l128"/>& <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> dicatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>a</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BC</mn></math></tei:formula> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>b</mn></math></tei:formula>, & area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BCED</mn></math></tei:formula> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>, erit <tei:lb xml:id="l129"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BD</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>z</mn><mn>b</mn></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>z</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn><mo>⁢</mo><mn>b</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>24</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>b</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>: ubi coefficientes denomina<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l130"/>torum prodeunt multiplicando terminos hujus arithmeticæ progressionis, <tei:lb xml:id="l131"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn><mo lspace="0.2em" rspace="0.2em">,</mo><mn>2</mn><mo lspace="0.2em" rspace="0.2em">,</mo><mn>3</mn><mo lspace="0.2em" rspace="0.2em">,</mo><mn>4</mn><mo lspace="0.2em" rspace="0.2em">,</mo><mn>5</mn><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> in se continuò. Et hinc ex Logarithmo dato potest nume<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l132"/>rus ei competens inveniri.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par28">8. Esto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VDE</mn></math></tei:formula> Quadratrix cujus vertex <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>V</mn></math></tei:formula>, existente <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00181-03.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l133"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> centro & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> semidiametro circuli ad quem aptatur, <tei:lb xml:id="l134"/>& angulo, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VAE</mn></math></tei:formula> recto. Demissoq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> perpendiculo <tei:lb xml:id="l135"/>quovis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DB</mn></math></tei:formula> & acta Quadratricis tangente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DT</mn></math></tei:formula> occurrente <tei:lb xml:id="l136"/>axi ejus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AV</mn></math></tei:formula> in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>T</mn></math></tei:formula>: dic <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AV</mn><mo>=</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AB</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>, eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:pb xml:id="p003v" n="3v" facs="#MS-ADD-03977-005-00006.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topLeft" hand="#unknown3">6)</tei:fw> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BD</mn><mo>=</mo><mrow><mn>a</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>45</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mrow><mn>945</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>VT</mn><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>4</mn></msup><mrow><mn>15</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>6</mn></msup></mrow><mrow><mn>189</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c.</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et area <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AVDB</mn></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l137"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>9</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>225</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>6615</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula> Et arcus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>VD</mn><mo>=</mo><mrow><mn>x</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>27</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>2025</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>604</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>893025</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l138"/>Unde vicissim ex dato <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BD</mn></math></tei:formula>, vel <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VT</mn></math></tei:formula>, aut areâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AVDB</mn></math></tei:formula> arcuv<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>VD</mn></math></tei:formula>, <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> resolutionem <tei:lb xml:id="l139"/>affectarum æquationum erui potest <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>x</mn></math></tei:formula> seu <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par29">9 Esto Deniq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AEB</mn></math></tei:formula> sphæroides, revolutione Ellipseos <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AEB</mn></math></tei:formula> <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00181-04.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l140"/>circa axem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> genita, & recta planis quatuor, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> axem <tei:lb xml:id="l141"/>transeunte, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DC</mn></math></tei:formula> parallelo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CDE</mn></math></tei:formula> perpendiculariter bisecante <tei:lb xml:id="l142"/>axem, et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>FC</mn></math></tei:formula> parallelo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CE</mn></math></tei:formula>: sitq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CB</mn><mo>=</mo><mn>a</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CE</mn><mo>=</mo><mn>c</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>CF</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l143"/>& <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>FG</mn><mo>=</mo><mn>y</mn></mrow></math></tei:formula>; et sphæroideos segmentum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>CDFG</mn></math></tei:formula>, dictis quatuor planis compr<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">e</tei:add>hensum <tei:lb xml:id="l144"/>erit. <tei:lb type="intentional" xml:id="l145"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mtable columnspacing="0.3em" columnalign="right"> <mtr><mtd><mrow><mo>+</mo><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><mn mathsize="110%">y</mn></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="110%">y</mn><mn mathsize="110%">3</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>20</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="110%">y</mn><mn mathsize="110%">5</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>x</mn><mrow><mn>56</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="110%">y</mn><mn mathsize="110%">7</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>576</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⁢</mo><msup><mn mathsize="110%">y</mn><mn mathsize="110%">9</mn></msup></mrow></mtd><mtd><mspace width="0.5em"/></mtd><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>18</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>336</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>5</mn></msup><mo>⁢</mo><mn>a</mn><mo>⁢</mo><mn>a</mn></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>20</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>160</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>c</mn><mn>3</mn></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>56</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>7</mn></msup></mrow><mrow><mn>336</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>6</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><mn>c</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mn>9</mn></msup></mrow><mrow><mn>576</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>a</mn><mn>7</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mtd><mtd/><mtd/><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mtd></mtr> <mtr><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mtext>&c.</mtext></mtd></mtr> </mtable> </math></tei:formula> <tei:lb type="intentional" xml:id="l146"/>Ubi numerales coefficientes supremorum terminorum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>2</mn><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mphantom><mo>−</mo></mphantom><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>20</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>56</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" rspace="0.5em">,</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>576</mn></mrow></mfrac><mspace width="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></mfenced></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l147"/>in infinitum producuntur multiplicando primum coefficientem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math></tei:formula> continuò <tei:lb xml:id="l148"/><tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> terminos hujus progressionis <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mphantom><mo>−</mo></mphantom><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>×</mo><mn>11</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Et numerales <tei:lb xml:id="l149"/>coefficientes terminorum in unaquaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> coluna descendentium in infinitum <tei:lb xml:id="l150"/>producuntur multiplicando continuò coefficientem supremi termini in prima <tei:lb xml:id="l151"/>columna per eandem progressionem, in secunda autem per terminos hujus <tei:lb xml:id="l152"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>×</mo><mn>11</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em"/><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>; in tertia <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> terminos hujus <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l153"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>8</mn><mo>×</mo><mn>9</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, in quarta per terminos huius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, in quinta <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> terminos <tei:lb xml:id="l154"/>huius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mfrac><mrow><mn>7</mn><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>9</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mfrac><mrow><mn>11</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>6</mn><mo>×</mo><mn>7</mn></mrow></mfrac><mo separator="true" lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> Et sic in infinitum. Et eodem modo segmenta <tei:lb xml:id="l155"/>aliorum solidorum designari, & valores eorum aliquando commodè <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> series <tei:lb xml:id="l156"/>quasdem numerales in infinit<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">um</tei:add> produci possu<tei:supplied reason="blot" cert="high">n</tei:supplied>t.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par30">Ex his videre est quantum fines Analyseos <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> hujusmodi infinitas æquationes <tei:lb xml:id="l157"/>ampliantur: quippe quæ earum beneficio, ad omnia, penè dixerim, problemata <tei:lb xml:id="l158"/>(si numeralia Diophanti et similia excipias) se<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">s</tei:add>e extendit Non tamen omninò <tei:lb xml:id="l159"/>universalis evadit, nisi <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> ulteriores quasdem methodos eliciendi series in<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l160"/>finitas. Sunt enim quædam Problemata in quibus non liceat ad series infini<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l161"/>tas <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> divisionem vel extractionem radicum simplicium affectarumve pervenire: <tei:lb xml:id="l162"/>sed quomodo in istis casibus procedendum sit jam non vacat dicere; ut neq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> alia <tei:lb xml:id="l163"/>quædam tradere quæ circa reductionem infinitarum serierum in finitas, <tei:lb xml:id="l164"/>ubi rei natura tulerit, excogitari. Nam parcius scribo, quod hæ speculatio<tei:lb xml:id="l165"/>nes diu mihi fastidio esse cœperunt, adeò ut ab ijsdem jam <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> quinq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ferè <tei:lb xml:id="l166"/>annos abstinuerim. Unum tamen addam: quòd postquam Problema aliquod <tei:lb xml:id="l167"/>ad infinitam æquationem deducitur, possint indè variæ approximationes <tei:lb xml:id="l168"/>in usum Mechanicæ nullo ferè negotio formari, quæ <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> alias methodos <tei:lb xml:id="l169"/>quæsitæ, multo labore temporisq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> dispendio constare solent. Cujus rei <tei:lb xml:id="l170"/>Exemplo esse possunt Tractatus Hugenij aliorumq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> de Quadratu<tei:add indicator="yes" place="supralinear">râ</tei:add> circuli. <tei:lb xml:id="l171"/>Nam ut ex datâ arcûs chorda <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, & dimidij arcûs chorda <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>D</mn></math></tei:formula> arcum illum <tei:lb xml:id="l172"/>proxime assequarim, finge arcum illum esse <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Z</mn></math></tei:formula>, et circuli radium <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>r</mn></math></tei:formula>; juxtaq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:lb xml:id="l173"/>superiora erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula> (nempe duplum sinûs dimidij <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>z</mn></math></tei:formula>) <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mn>z</mn> <mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:pb xml:id="p004r" n="4r" facs="#MS-ADD-03977-005-00007.jpg"/><tei:fw type="pag" place="topRight" hand="#unknown5">4</tei:fw><tei:fw type="pag" place="topLeft" hand="#unknown3">(7)</tei:fw> Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>B</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Duc jam <tei:del type="cancelled">in</tei:del> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>B</mn></math></tei:formula> in numerum ficti<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l174"/>tium <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>n</mn></math></tei:formula> & <tei:del type="cancelled"><tei:supplied reason="del" evidence="external" cert="medium">a</tei:supplied></tei:del> producto aufer <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, & residui secundum terminum (nempe <tei:lb xml:id="l175"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="" close=")"><mrow><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>n</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>16</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>3</mn></msup><mrow><mn>4</mn><mo>×</mo><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn><mo>⁢</mo><mn>r</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow><mtext>,</mtext></mrow></mfenced></math></tei:formula> eo ut evanescat, pone <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></tei:formula>, indeq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> emerget <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>n</mn><mo>=</mo><mn>8</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l176"/>& erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mn>A</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>z</mn></mrow><mo>∗</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup></mrow><mrow><mn>64</mn><mo>×</mo><mrow><mn>120</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>: hoc est <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><mn>B</mn></mrow><mo>−</mo><mn>A</mn></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>z</mn></mrow></math></tei:formula> errore tan<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l177"/>tum existente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><msup><mn>z</mn><mn>5</mn></msup><mrow><mn>7680</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>r</mn><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula> in excessu. Quod est <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="1"/></tei:del> Theorema Hugenian<tei:choice><tei:orig>ū</tei:orig><tei:reg>um</tei:reg></tei:choice>.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" xml:id="par31">Insuper si in arcûs <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Bb</mn></math></tei:formula> sagittâ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula> indefinitè productâ <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00181-05.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l178"/>quæratur punctum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>G</mn></math></tei:formula> à quo actæ rectæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GB</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Gb</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l179"/>abscindant tangentem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ee</mn></math></tei:formula> quamproximè <tei:lb xml:id="l180"/>æqualem arcui isti: esto circuli centrum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>C</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l181"/>diameter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AK</mn><mo>=</mo><mn>d</mn></mrow></math></tei:formula>, & sagitta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AD</mn><mo>=</mo><mn>x</mn></mrow></math></tei:formula> et erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DB</mn></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l182"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mfenced><mrow><mo>=</mo><mrow><msqrt/><mover><mrow><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover></mrow></mrow></mfenced><mrow> <mo>=</mo><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>8</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>16</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l183"/>Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AE</mn><mrow><mfenced><mrow><mo>=</mo><mn>AB</mn></mrow></mfenced></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>+</mo><mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>112</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l184"/>Et <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>AE</mn><mo>−</mo><mn>DB</mn></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>AD</mn></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>AE</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>AG</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>. Quare <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>12</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow><mrow><mn>175</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><mtext>vel</mtext><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l185"/>Finge ergo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>, & vicissim erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>DG</mn><mspace width="0.5em"/><mfenced><mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>6</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow></mfenced></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>DB</mn></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>DA</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>AE</mn><mo>−</mo><mn>DB</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>. <tei:lb xml:id="l186"/>Quare <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>AE</mn><mo>−</mo><mn>DB</mn></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>23</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>300</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Adde <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula> et prodit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>AE</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>+</mo></mrow></mrow></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l187"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow> <mfrac><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mrow><mn>6</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>40</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>17</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>1200</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>. Hoc aufer de valore ipsius <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> supra habito et resta<tei:lb xml:id="l188"/>bit error <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>16</mn><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>525</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>vel</mn><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. Quare in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AG</mn></math></tei:formula> cape <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AH</mn></math></tei:formula> quintam partem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD </mn></math></tei:formula>, & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>KG</mn><mo>=</mo></math></tei:formula><tei:lb xml:id="l189"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>HC</mn></math></tei:formula>; & actæ <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GBE</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Gbe</mn></math></tei:formula> abscindent tangentem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Ee</mn></math></tei:formula> quamproximè æqualem <tei:lb xml:id="l190"/>arcui <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Bab</mn></math></tei:formula> errore tantum existente <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>16</mn><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>525</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mn>vel</mn><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>; multo minore <tei:lb xml:id="l191"/>scilicet quam in Theoremate Hugenij. Quod si fiat <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><mn>AH</mn></mrow></mrow><mo>∷</mo><mrow><mn>DH</mn><mo lspace="0.5em" rspace="0.5em">.</mo><mn>n</mn></mrow></mrow></math></tei:formula>, & <tei:lb xml:id="l192"/>capiatur <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>KG</mn><mo>=</mo><mrow><mn>CH</mn><mo>−</mo><mn>n</mn></mrow></mrow></math></tei:formula> erit error adhuc multò minor.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par32">Atq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> ita si circuli segmentum aliquod <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BAb</mn></math></tei:formula> <tei:choice><tei:orig>ꝑ</tei:orig><tei:reg>per</tei:reg></tei:choice> Mechanicam designandum esset: <tei:lb xml:id="l193"/>primò reducerem aream istam in infinitam seriem; puta hanc <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BbA</mn><mo>=</mo></mrow></math></tei:formula> <tei:lb xml:id="l194"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow> <mrow><mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>14</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mfrac><mn>9</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow><mrow><mn>36</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>d</mn><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mtext>&c</mtext></mrow></mrow></math></tei:formula>; dein quærerem constructiones mecha<tei:lb type="hyphenated" xml:id="l195"/>nicas quibus hanc seriem proximè assequere<tei:del type="cancelled">m</tei:del>; cujusmodi sunt hæc.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par33">Age rectam <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, & erit <tei:choice><tei:abbr>segm:</tei:abbr><tei:expan>segmentum</tei:expan></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>BbA</mn><mo>=</mo><mrow><mover><mrow><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AB</mn></mrow><mo>+</mo><mn>BD</mn></mrow><mo stretchy="true">‾</mo></mover><mo>×</mo><mrow><mfrac><mn>4</mn><mn>5</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula> proximè, existente scilicet <tei:lb xml:id="l196"/>errore tantum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>70</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>, in defectu: vel proximiùs er<tei:del type="over"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="2"/></tei:del><tei:add indicator="no" place="over">it</tei:add> segmentum <tei:lb xml:id="l197"/>illud, (bisecto <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AD</mn></math></tei:formula> in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>F</mn></math></tei:formula> et acta recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BF</mn></math></tei:formula>,) <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>BF</mn></mrow><mo>+</mo><mn>AB</mn></mrow><mn>15</mn></mfrac><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>, existente errore <tei:lb xml:id="l198"/>solu<tei:choice><tei:orig>m̄</tei:orig><tei:reg>mm</tei:reg></tei:choice>odo <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mn>x</mn><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><mn>560</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>d</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>⁢</mo><mrow><msqrt/><mrow><mn>d</mn><mo>⁢</mo><mn>x</mn></mrow></mrow><mo>+</mo><mtext>&c</mtext></mrow></math></tei:formula>. qui semper minor est quàm <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>1500</mn></mfrac></math></tei:formula> totius segmenti, <tei:lb xml:id="l199"/>etiamsi segmentum illud ad usq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> semicirculum augeatur.</tei:p> <tei:p xmlns:tei="http://www.tei-c.org/ns/1.0" rend="indent0" xml:id="par34">Sic et in Ellipsi <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BAb</mn></math></tei:formula> cujus vertex <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>A</mn></math></tei:formula>, axis alteruter <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AK</mn></math></tei:formula>, et latus rectum <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AP</mn></math></tei:formula>, cape <tei:lb xml:id="l200"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>PG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>19</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow><mo>−</mo><mrow><mn>21</mn><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>; in Hyperbola verò cape <tei:del type="cancelled"><tei:gap reason="illgblDel" unit="chars" extent="5"/></tei:del> <tei:lb xml:id="l201"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>PG</mn><mo>=</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>19</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>21</mn><mo>⁢</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow><mrow><mn>10</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>AP</mn></mrow></mrow></mrow></math></tei:formula>: <tei:lb xml:id="l202"/>& acta recta <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>GBE</mn></math></tei:formula> abscindet tangentem <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AE</mn></math></tei:formula> quamproximè æqualem <tei:lb xml:id="l203"/>arcui Elliptico vel Hyperbolico <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AB</mn></math></tei:formula>, dummodo ar<tei:supplied reason="damage" cert="high">cus</tei:supplied> ille non sit nimis <tei:lb xml:id="l204"/>magnus. Et pro area segmenti Hyperbolici <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>BbA</mn></math></tei:formula>, in <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>DP</mn></math></tei:formula> cape <tei:lb xml:id="l205"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DM</mn> <mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>AD</mn><mo>q</mo></msup></mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>, & ad <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>D</mn></math></tei:formula> & <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>M</mn></math></tei:formula> erige perpendicula <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>Dβ</mn></math></tei:formula>, <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>MN</mn></math></tei:formula> occurrentia semicirculo <tei:lb xml:id="l206"/>super diametro <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>AP</mn></math></tei:formula> descripto, eritq<tei:choice><tei:orig>ꝫ</tei:orig><tei:reg>ue</tei:reg></tei:choice> <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AN</mn></mrow><mo>+</mo><mn>Aβ</mn></mrow><mn>15</mn></mfrac><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>BbA</mn></mrow></math></tei:formula> <tei:figure rend="floatRight"><tei:graphic url="NATP00181-06.png"/><tei:figDesc/></tei:figure> <tei:lb xml:id="l207"/>proximè vel proximius <tei:add indicator="no" place="supralinear">propius</tei:add> erit <tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>21</mn><mo>⁢</mo><mn>AN</mn></mrow><mo>+</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>Aβ</mn></mrow></mrow><mn>75</mn></mfrac><mo>×</mo><mrow><mn>4</mn><mo>⁢</mo><mn>AD</mn></mrow></mrow><mo>=</mo><mn>BbA</mn></mrow></math></tei:formula>, <tei:lb xml:id="l208"/>si modoò capiatur <tei:lb xml:id="l209"/><tei:formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>DM</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>⁢</mo><msup><mn>AD</mn><mo>q</mo></msup></mrow><mrow><mn>7</mn><mo>⁢</mo><mn>AK</mn></mrow></mfrac></mrow></math></tei:formula>.</tei:p> </div> </body> </text> </TEI>